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Full text of "Exposé élémentaire de la théorie d'Einstein et de sa généralisation. Suivi d'un appendice a l'usage des mathématiciens"

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•LLECTION PAYOT 



r: noaocUes sur la structure de VUniven 



losé élémentaire 



PAR 



JEAN BECQUEREL 

PROFESSEUR AU MUSÉUM D'HISTOIRE NATURELLE 



Aeec î 7 figures 




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Frof, Emit Starm 
in memoviam 

1985 



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i_^ *^v^j-i_«_\-. i iv-ri'i i i-i. M. \^ i bc propose ae mettre à la 
portée de chacun les principes fondamentaux et les faits essen- 
tiels dans toutes les branches du savoir humain. Elle permettra 
par ses exposés accessibles, clairs et précis, aux personnes 
instruites que les nécessités de la vie ont obligées à se spécia- 
liser, d'être au courant des plus récentes acquisitions de la 
science et de l'érudition moderne. 

Les ouvrages de la COLLECTION PAYOT sont conçus 
de manière à fournir, dans toutes les matières, à la fois une 
initiation pour les jeunes gens, une lecture d'un passionnant 
intérêt pour le grand public cultivé et un précis pour les spé- 
cialistes eux-mêmes. 



N° 1. Éjouard Montet, Professeur de langues orientales k ITJniverïiti de 
Genève, ancien Recteur. L'Islam. 

N° 2. Camille Mauclair. Les États de la Peinture Française de 

185J à 1^20. 

N°* 3-4. Rens Canat, Prof, de rhétorique sup*^' au Lycée Louis-le-Grand. La 
Littérature Française au XIX*^ siècle. Tome 1 (18.0-1852) — 
Tome II (1852-1900'). 



N" 5. Louis Le:er, Membre de l'Institut. Profess' au CoU^e de France. Les 
Ancienne» Civilisations Slaves. 

N° 6. Paul ArpElL. Membre de l'Institut. Recteur de l'Université de Pari». 
Eléments de la Théorie des Vecteurs et de la Géométrie 
analytique. 



N" 7. C DE CiVRiEéc. La Grande Guerre (1914-1)18). Aperçu d'Histoire 
m litaire. 




N° 8. Henri Cordier, Membre de l'Institut. La Chine. V./ 



N*» 9 Ernest Babelon, Membre de l'Institut, Conserv' du cabinet des Médailles, 
Professeur au Gjllège de France. Les Monnaies Grecques. 
Aperçu historique. 

N° 10. Georges Métisse, Docteur ès-sciences. Le Mouvement Scientifique 
Contemporain en France. — L Les Sciences Naturelles. 

N** 11. D' Pierre Boulan, Œef du Service de radiologie et d'électrothérapie 
à l'hôpital de Saint-Germain. Le» Agents Physiques et la 
Physiothérapie. 



N° 12. HipI 



N°13. 


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— Ce qu'il est. 

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fesseur à l'Ecole 
le l'Afriqus. 

^culture, Membre 
;y, Directeur de 
Vins. 

luséum d'Histoire 



en Syrie. La 



sondant de l'ins- 



titut. L 



a ocuipiure v^^recque. 



N° 20. H. Andoyer, Membre de l'Académie des Sciences et du bureau des 
longitudes, Professeur à la Sorbonne. L'Œuvre Scientifique de 
Laplace. 

N° 21. Jean Becquerel, Professeur au Mustum National d'Histoire Naturelle. 
Exposé élémentaire de la Théorie d'Einstein et de sa 
générzdisation, suivi d'un Appendice à l'usage des ma- 
thématiciens. 



N"* 23-24. Maurice Croiset, Membre de l'Institut, Adrrinist ateur du Collège 
de France. La Civilisation Hellénique. Aper;u HISTORI UE. 

N°* 25-26. Etienne Gilson, Chargé de Cours à la Sorbonne, Directeur d'Etu.'es 
à l'Exoie prati^ue des Hautes Etudes Religieuses. La Philosophie 
au Moyen Age. 



M. JEAN BECQUEREL 

M. Jean Becquerel appartient à une famille de physicien^ 
fils d'Henri Becquerel, l'illustre auteur de la découverte de 
la radioactivité, petit-fils d'Edmond Becquerel et de Jamin, 
arnère-petit-fils d'Antoine-César Becquerel, il est né à Paris 
le 5 février 1878. Il sortit de l'École Polytechnique en 1899 
dans le corps des Ponts et Chaussées, où il a actuellement le 
grade d mgénieur en chef. 

En juillet 1903 il fut nommé assistant, puis en 1909 profes- 
seur au Muséum National d'Histoire Naturelle, titulaire de 
la chaire de Physique dans laquelle quatre Becquerel se sont 
succédé de père en fils depuis sa fondation (1838). Répétiteur 
de physique à l'École Polytechnique (191 1), il a rempli à cette 
Ecole les fonctions d'examinateur temporaire (1919-1920) 
et de professeur temporaire (1920-1921). Il est lauréat de 
l'Académie des Sciences (prix Rivot, prix Hughes). 

M. Jean Becquerel, soit seul, soit en collaboration avec le 
professeur Kamerlingh-Onnes (de Leyde) ou avec M. Louis 
Matout, assistant au Muséum, a effectué de nombreuses re- 
cherches sur l'absorption de la lumière, les phénomènes optiques 
et magnéto-optiques aux très basses températures, la phospho- 
rescence, les phénomènes galvano-magnétiques. Il a publié 
ses travaux dans les comptes rendus de l'Ac. des Se., les C. R. 
de l'Ac. des Se. d'Amsterdam (en collaboration avec le Prof. 
Kamerlingh-Onnes), le bulletin du Muséum, les Ann. de Ch. 
et de Phys., le Radium, etc.. 

Depuis quelques années, il s'est principalement consacré 
à I étude de la théorie d'Einstein ; jugeant nécessaire de dé- 
fendre et de propager les idées nouvelles, il expose cette théorie 
à son cours du Muséum. 



COLLECTION PAYOT 



JEAN BECQUEREL 

PROFESSEUR AU MUSEUM DHISTOIRE NATURELLE 



LES IDEES NOUVELLES SUR LA STRUCTURE DE L UNIVERS 



EXPOSÉ ÉLÉMENTAIRE 

DE LA 

THÉORIE D'EINSTEIN 

ET DE SA GÉNÉRALISATION 

SUIVI d'un appendice 
A l'usage des mathématiciens 

Avec 17 figures dans le texte. 




PAYOT & C^ PARIS 

106, BOULEVARD SAINT-GERMAIN 

1922 

Tous droits réservés. 



MATH & STAT 



TABLE DES MATIERES 



INTRODUCTION. 



PREMIERE PARTIE 
LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

CHAPITRE PREMIER. - LES NOTIONS ANCIENNES 

D'ESPACE ET DE TEMPS H 

Systèmes de coordonnées, p. 11. — Le groupe 
de transformations de la cmématique classique 
(groupe de Galilée), p. 16. — Les invariants fon- 
damentaux (temps absolu, espace absolu), p. 18. 

— Les bases de la dynamique newtonienne, p. 22. 

— Le principe de relativité de la mécanique newto- 
nienne, p. 24. 

CHAPITRE II.-- LA RECHERCHE DU MOUVEMENT 
ABSOLU. L'EXPÉRIENCE DE MICHELSON. LE PRIN- 
CIPE DE RELATIVITÉ 26 

L'expérience de Michelson, p. 27. — La con- 
traction de Fitzgerald-Lorentz, p. 31. — Le point 
de vue d'Einstein, p. 33. 

CHAPITRE III. - L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE 

LA LUMIÈRE 34 

Le temps et la simultanéité, p. 34. — I-a vi- 
tesse de la lumière est une constante universelle, 
p. 36. 

Tous droits de traduction, de reproduction et d'adaptation réservés pour tous pays 
Copyright 1921 by Poyot & C" 



TABLE DES MATIERES 3 

CHAPITRE IV. - LA TRANSFORMATION DE LORENTZ. 

RELATIVITÉ DE L'ESPACE ET DU TEMPS 38 

Le groupe de Lorentz, p. 38. — Les lois de 
la mécanique doivent être compatibles avec celles de 
1 électromagnétisme, p. 40. — L'espace et le temps 
relatifs, p. 43. — La loi de composition des vitesses, 
p. 44. — L'expérience de Fizeau (entraînement des 
ondes), p. 45. 

CHAPITRE V. - L'UNIVERS DE MINKOWSKI 48 

Union de l'espace et du temps, l'Univers quadri- 
dimensionnel, p. 48. — Propriétés des couples d'évé- 
nements, p. 50. — La contraction des longueurs, p. 
52. — La dilatation du temps, p. 53. — Les lignes 
d'univers, p. 53. — Le temps propre, p. 55. — La 
loi d'inertie, p. 39. 

CHAPITRE VI. - DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ.. . 60 

La masse fonction de la vitesse, p. 60. — L é- 
nergie et ses diverses formes, p. 62. — L'inertie 
de l'énergie, p. 64. — Conséquences de l'inertie 
de 1 énergie, p. 66. — La matière réservoir d é- 
nergie, p. 68. — Unification des principes de la dyna- 
mique : conservation de l'impulsion d'Lnivers, p. 

69. 

CHAPITRE VII. - VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES. 74 

Les vitesses des électrons, p. 74. — Loi d'ac- 
croissement de la masse avec la vitesse, p. 74, — 
La structure des raies spectrales, p. 75. — Signifi- 
cation de l'expérience de Michelson, p. 75. 

DEUXIÈME PARTIE 

LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉ 

ET LA GRAVITATION 

CHAPITRE VIII. - LE CHAMP DE GRAVITATION ET 

L'UNIVERS RÉEL 77 

Les systèmes galiléens, p. 77. — La pesanteur 
de lénergie, p. 79. — L équivalence entre un 
champ de gravitation et un champ de force d'inertie 



4 TABLE DES MATIERES 

(la gravitation est une action de proche en proche ; 
égalité de la masse pesante et de la masse inerte ; le 
boulet de Jules Verne; le prmcipe d'équivalence), 
p. 80. — L'univers n'est pas euclidien, p. 85. — Le 
principe de relativité généralisé, p, 86. 

CHAPITRE IX. — LES COORDONNÉES DE GAUSS.. . . 89 

Le temps et les longueurs dans un champ de gra- 

v.tation, p. 89. — Les surfaces et les coordonnées 

de Gauss, p. 91. — Extension de la théorie de 

Gauss, p. 96. — Courbure de 1 Lnivers réel, p. 100. 

CHAPITRE X. — L.4 LOI DE LA GRAVIT.ATION (EINS- 
TEIN) 101 

Nature de la gravitation, p. 101. — Les tenseurs, 
p. 103. — La forme tensorielle des lois est exigée 
par le principe de relativité, p. 103. — La loi de la 
gravitation dans le vide, p. 105. — La loi de gra- 
vitation dans la matière, p. 108. — La loi de New- 
ton est une approximation, p. 110. 

CHAPITRE XI. - APPLICATIONS ET VÉRIFICATIONS 

DE LA LOI D'EINSTEIN 112 

Le champ de gravitation d'un centre matériel, 
p. 112. — Le mouvement des planètes (le déplace- 
ment du périhélie de Mercure), p. 113. — La dé- 
viation d'un rayon lumineux par le soleil, p. 113. — 
Le déplacement des raies spectrales, p. 117. 

CHAPITRE XII. — LA COURBURE DE L'ESPACE ET 

DU TEMPS. HYPOTHÈSES COSMOLOGIQUES.. . . 118 
L'espace fini bien qu'illimité, p. 118. — L'Uni- 
vers d'Einstein, p. 121. — L'Univers de de Sitter, 
p. 123. — L'accélération et la rotation, p. 124. — 
La structure d Univers et l'éther, p. 125. 

CONCLUSIONS GÉNÉRALES, p. 127. 

APPENDICE A L'US.^GE DES M.ATHÉM.A.TICIENS 

I. - RELATIVITÉ RESTREINTE. 

Note 1. — Sur V invariance de la dislance spatiale de deux 

événements simultanés 134 



TABLE DES MATIERES D 

Note 2. — Sur les équations de la dynamique classique. . . 134 
Note 3. — Sur l'expérience de Michelson et la contraction de 

Fitzgérald-Lorentz 135 

Note 4. — Remarque sur la mesure du temps 136 

Note 5. — Etablissement des formules du groupe de Lorentz. 136 

Note 6. — La loi de composition des vitesses 138 

Note 7. — La contraction des longueurs et la dilatation du 

temps 159 

Invariance de l'hypervolume quadridimensionnel, p. 140. 

Note 8. — Sur le temps propre 140 

^ote 9. — La loi d'inertie 141 

Note 10. — I. Le champ électromagnétique 142 

Invariance de la charge électrique, p. 144. — Formules 
de l'effet Doppler, de 1 aberration de la lumière et de 
la pression de radiation, p. 144. 

II. Dynamique de la relativité 146 

La masse fonction de la vitesse (loi de Lorentz-Einstein), 
p. 146. — L'inertie de l'énergie (énergie cinétique, éner- 
gie rayonnante, perte de masse d'un corps qui rayonne, 
énergie potentielle de l'électron ), p. 148. — L'impulsion 
d'Univers et sa conservation, p. 151. 

RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 

Note 11. — Les tenseurs 153 

Quadrivecteurs, p. 153. — Tenseurs, p. 154. — Multipli- 
cation des tenseurs, p. 155. — Contraction, p. 155. — 
Caractère tensoriel, p. 156. — Tenseurs fondamentaux, 
p. 156. — Tenseurs associés, p. 157. — Longueur gé- 
néralisée, condition d'orthogonalité, p. 157. — Densité 
tensorielle, p. 158. — Symboles de Christoffel, p. 159. 
— Dérivée covariante, p. 159. — Formules utiles, 
p. 160. — Divergence, p. 161. — Le tenseur de Rie- 
mann-Christoffel, p. 162. 

Note 12. — Gravitation et dynamique 163 

Loi de la gravitation dans le vide, p. 163. — Théorème 
fondamental, p. 164. — Equations des géodésiques, 
p. 164. — Le tenseur impulsion-énergie ou tenseur 
matériel, p, 166. — La conservation de l'impulsion- 
énergie, p. 167. — La loi de la gravitation dans la 



Ô TABLE DES MATIERES 

matière, p. 167. — Les équations de l'hydrodyna- 
mique, p. 169. — Les forces, p. 170. — La loi 
d'Einstein contient toute la dynamique, p. 171. — La 
loi de Newton, p. 172. — Propagation de la gravita- 
tion, p. 1 72. 

Note 13. — Le champ de gravitation d'un centre matériel. 173 

Expression de ds~, p. 173. — Interprétation physique et 
réponse aux objections de M. Painlevé, p. 174. — 
Mouvement des planètes, p. 176. — Propagation de 
la lumière, p. 177. — Ralentissement du temps et dépla- 
cement des raies spectrales, p. 177. 

Note 14. — Les lois générales de V électromagnétisme. ... 178 
Généralisation des équations de Maxwell-Lorentz, p. 178. 
— La conservation de l'électricité, p. 183. — Le ten- 
seur d'énergie électromagnétique et la loi générale de 
conservation, p. 183. 

Note 13. — La courbure de l'espace et du temps 184 

La courbure non nulle dans le vide, p. 184. — L'espace 
fermé, p. 186. — L'Univers cylindrique d'Einstein, 
p. 187. — L'Univers hyperbolique de de Sitter ; la 
barrière du temps, p. 189. 

Note 16. — Généralisations de Weyl et d'Eddington. ... 190 

Théorie de Weyl, p. 190. — Théorie d'Eddington, p. 195. 
Théorie géométrique de l'Univers, p. 196. — identifi- 
cation des grandeurs physiques et des grandeurs géo- 
métriques, p. 198. — L'électron, p. 203. — Conclu- 
sions, p. 204. 



INTRODUCTION 



Presque tout le monde a entendu parler de la révolu- 
tion qui, depuis quelques années, a bouleversé les notions 
Jondamentales sur lesquelles reposaient la mécanique et la 
physique. Je me suis efforcé, dans ce petit livre, d'exposer 
les grands traits de la nouvelle théorie avec le minimum 
de calculs, presque sans calculs, en admettant seulement 
que le lecteur possède les notions les plus élémentaires de 
géométrie et d'algèbre. J ai fait suivre cet exposé d'un 
appendice où les personnes familiarisées avec le calcul dif- 
férentiel trouveront une sorte de précis de la théorie ma- 
thématique. 

En 1905, un jeune physicien de génie, AlbeRT 
Einstein, pour expliquer l'échec de toutes les tentatives 
destinées à mettre en évidence le mouvement absolu de la 
terre dans l'espace, a eu l audace d abandonner les idées 
basées sur les apparences les plus familières. Il a déve- 
loppé sa théorie en deux grandes étapes : la relativité res- 
treinte au mouvement en ligne droite avec vitesse constante, 
et depuis 1912 la relativité généralisée. S' étant élevé au- 
dessus de Copernic, de Galilée, et de Newton, Einstein a 
découvert la véritable loi de la gravitation, qui contient en 
elle les principes généraux de la mécanique, et a été con- 
duit à une impressionnante conception de l'univers. 



8 INTRODUCTION 

On s'imagine à priori que « / espace » dans lequel on 
observe la matière et dans lequel on mesure des distances 
est quelque chose d'absolu. On croit aussi que « le temps » 
est universel et absolu, que la simultanéité de deux événe- 
ments a un sens bien défini ; on ne voit aucun lien entre 
l'espace et le temps, qui apparaissent comme deux indivi- 
dualités bien séparées. 

Ces notions doivent être abandonnées aujourd'hui. L'es- 
pace et le temps ne sont ni absolus ni indépendants : ils 
sont unis et forment un Univers à quatre dimensions, qui 
seul possède une individualité ; en termes plus précis : 
chaque observateur décompose l Univers en '< espace ^^ et en 
« temps ^^ et deux observateurs en mouvement l'un par 
rapport à l'autre font deux décompositions différentes. 

Chacun connaît, au moins un peu, la géométrie d'Eu- 
clide ; nous verrons qu'en toute rigueur V espace-temps 
n'est pas régi par les lois de cette géométrie, telles qu'on 
peut les étendre à une multiplicité à quatre dimensions. 
Une sphère, un ellipsoïde, etc., constituent des surfaces 
courbes auxquelles la géométrie euclidienne du plan ne 
s'applique pas : de même l'Univers possède une courbure. 
Cette courbure se manifeste à nos yeux par le phénomène 
de la gravitation universelle ; elle se traduit à nous par 
l'existence d'une force d'inertie qui nous a donné l'illusion 
d'une force attractive émanant de toute matière et agissant 
à distance sur toute matière. 

Il n'y a plus, comme dans l'ancienne mécanique, de 
masse invariable caractérisant une quantité déterminée de 
matière. La masse se confond avec l'énergie ; elle varie 
avec la vitesse et elle est relative à l'observateur car il n y 
a pas de vitesse absolue, toutes les vitesses de translation 
étant relatives. 



INTRODUCTION V 

Enfin r Univers ne doit pas être infini dans toutes ses 
dimensions, et la quantité totale de matière existante doit 
être limitée. 

La mécanique classique garde son importance parce 
qu'elle constitue une approximation plus que suffisante 
dans la pratique, et en général satisfaisante en astronomie 
et en physique. Mais il est nécessaire de savoir que les 
notions d'espace et de temps sur lesquelles elle a été fondée 
sont inexactes, et d'expliquer certains écarts constates entre 
les faits expérimentaux et les prévisions déduites des 
anciennes lois. 

On doit répandre les idées nouvelles. Loin de conduire 
à une complication de la science, elles révèlent une admi- 
rable harmonie, une merveilleuse synthèse des lois natu- 
relles par laquelle on aperçoit pour la première fois les 
liens qui unissent des phénomènes qu on pouvait croire 
indépendants. 

La principale difficulté qu'on rencontre dans le dévelop- 
pement de la théorie de la relativité vient de la répugnance 
à abandonner des idées acquises, et de l étonnement où 
l'on se trouve plongé devant certaines conséquences qui, 
par leur étrangeté, choquent ce que l'on considérait comme 
le bons sens. Je demande au lecteur d'avoir le courage, en 
abordant cette étude, de renoncer résolument à toute idée 
préconçue. 

Pour la rédaction de cet opuscule, j'ai eu recours aux 
mémoires de M. Einstein, aux conférences de M. P. Lan- 
gevin qui a introduit en France les idées nouvelles et a 
beaucoup contribué à leur développement, enfin aux 
ouvrages de M. Eddington. 



PREMIERE PARTIE 

LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

CHAPITRE PREMIER 

LES NOTIONS ANCIENNES D'ESPACE 
ET DE TEMPS 



L'analyse des conceptions anciennes d espace et de 
temps, sur lesquelles sont fondées la géométrie et la méca- 
nique rationnelle, nous conduira à l'expérience célèbre par 
laquelle Michelson avait pensé mettre en évidence le mou- 
vement absolu de la terre dans 1 espace. 

J'admettrai que le lecteur possède les bases de la géo- 
métrie d'Euclide (lignes droites et lignes courbes, droites 
parallèles, droites perpendiculaires Tune sur 1 autre, 
angles, etc..) ; ces bases sont d'ailleurs presque intuitives. 
Je rappellerai seulement ce qu'on entend par système de 
coordonnées ", en priant les lecteurs qui seraient peu fami- 
liarisés avec les mathématiques de ne pas s effrayer de 
l'aridité du début de ce chapitre. Il suffit d'un peu de ré- 
flexion pour reconnaître qu'il s'agit de notions très simples, 
et ces notions sont indispensables pour la compréhension 
de la théorie d'Einstem. 

Systèmes de coordonnées. — Supposons qu une 
figure géométrique soit dessinée sur une feuille de papier 
plane. Si nous voulons préciser la forme de cette figure, il 



12 



LE x°RlNCIPE DE RELATIVITE RESTREINT 



nous faut un moyen de repérer la position de chacun de 

ses points ; d'une 
façon générale, 
l'étude des figures 
qu'on peut tracer sur 
un plan exige qu'on 
ait un moyen de 
désigner sans ambi- 
guïté un point quel- 
l'aide d'un système de 




JC 



Fie. \. 



conque de ce plan : on y parvient à 
coordonnées. 

Nous pouvons, par exemple, marquer un point O sur 
!a feuille de papier et tracer, dans une direction d'ailleurs 
arbitrairement choisie, une droite Ojc passant par ce point 
(fig. 1). Joignons au point O le pomt A que nous voulons 
repérer, puis mesurons la distance OA et l'angle que for 
ment les droites OA et Ojc ; ces deux grandeurs, dis- 
tance OA et angle ;cOA sont dites coordonnées du 
point A " ; elles déterminent entièrement la position de ce 
point car, le pôle " O et l'axe Ojc ayant été choisis une 
fois pour toutes, à chaque groupe de deux coordonnées cor- 
respond un point du plan et un seul. Ces coordonnées sont 
appelées coordonnées polaires. 

Un autre système de coordonnées, dont nous ferons 
constamment usage, est celui des coordonnées cartésiennes 
rectangulaires. Par un point fixe O, appelé origine des 
coordonnées, traçons deux droites rectangulaires Ojc, O^' 
qui seront les axes de coordonnées (fig. 2). Nous pouvons 
repérer tout point du plan par sa position relativement à 
ces axes : en effet, du point Ai abaissons, sur ces deux 
axes, deux perpendiculaires ; nous détermmons ainsi la 
projection Bi du point considéré sur l'axe O.v, et sa pro- 



LES NOTIONS ANCIENNES d'eSPACE ET DE TEMPS 13 

jection Ci sur l'axe Oy ; les distances xi = OBi et 
t/i =OCi, comptées sur chacun des axes à partir de l'ori- 
gine O (positivement dans un sens, négativement en sens 
opposé), sont les coordonnées cartésiennes du point Ai. 
Prenons maintenant un second point Aj, de coordonnées 





s 


Ci 




c, 











— .JC 



Fie. 2. 



xi et y 2, et proposons-nous d exprimer la distance des deux 
points Al et A2 en fonction de leurs coordonnées : d'après 
le théorème de Pythagore (le carré construit sur l'hypoté- 
nuse d'un triangle rectangle est égal à la somme des carrés 
construits sur les deux autres côtés), on a 



AiA. = AiD"-hA2D 



14 



LE PRINCIPE DE RELATIVITE RESTREINT 



OU, en désignant par / la distance A1A2 des deux points, 

(1) r- = ç,,_-^^y + Çy^-y,y_ 

Dans ce système de coordonnées, le carré de la distance 
de deux points est égal à la somme des carrés des diffé- 
rences de leurs coordonnées. 

La géométrie des figures tracées sur notre feuille de 
papier plane est a. Jeux dimensions, puisque deux coordon- 
nées (deux quantités variables d'un point à un autre) sont 
nécessaires et suffisantes pour déterminer la position d un 
point du plan. Un plan est une multiplicité bidimension- 
nelle " . 

Passons maintenant à la géométrie des figures tracées, 
non plus seulement sur un plan, mais dans l'espace ; il nous 
faut introduire une troisième dimension : à la longueur et 

a la largeur vient se 
^ joindre la hauteur. 

Prenons dans 
l'espace un plan de 
référence P (repré- 
senté en perspec- 
tive sur la figure 3/. 
Dans ce plan nous 
pouvons, comme 
précédemment. 
Fie 3. choisir un point 

origine O et deux 
axes de coordonnées Ox, O^. Soit Ai un point quel- 
conque de l'espace ; de ce point abaissons une perpen- 

I. Il en est de même, d'ailleurs, d'une surface courbe, mais la géométrie des 
surfaces courbes n'e«t plus la géométrie d'Euclide. Nous reviendrons plus lard sur 
cette question. 




LES NOTIONS ANCIENNES d'eSPACE ET DE TEMPS 15 

diculaire AiMi sur le plan P; le point At est entière- 
ment défini par les coordonnées xi et t/i de sa projec- 
tion Ml sur le plan, auxquelles il faut joindre sa distance 
zi = AiMi au plan (considérée comme positive d'un côté 
du plan et comme négative du côté opposé). Le point Ai 
a donc trois coordonnées x\, yi, z\ (coordonnées carté- 
siennes rectangulaires) ; en d'autres termes, l'espace est une 
multiplicité tridimensionnelle ". 

La construction que nous venons de faire revient à la 
suivante : par un point O de l'espace, choisi comme origine 
des coordonnées, nous faisons passer trois plans rectangu- 
laires xQ>y, .rOz, yOz qui se coupent suivant les droites 
rectangulaires Q)x, Oy, Oz. Les distances x\, y\, zi, d'un 
point Al de l'espace aux trois plans yOz, xOz, xOy, choi- 
sis une fois pour toutes, sont les coordonnées cartésiennes 
de ce point. 

Par une extension facile de la formule (1), le carré de 
la distance de deux points Ai et A2 de l'espace a pour 
expression, en fonction des coordonnées Xi, yi, zi et a:2, yi, 
Z2 de ces deux points 

(2) i' = (x, - x,y + (y,-yd' + fe - z.y.} 

Un premier système de coordonnées Oxyz ayant été 
choisi et tous les points de l'espace ayant été d'abord rap- 
portés à ce système, nous pouvons changer de système en 
adoptant ensuite un second système Oxyz. Supposons 
que ce second système soit immobile par rapport au pre- 
mier. Six quantités sont nécessaires et suffisantes pour défi- 
nir la position relative des deux systèmes d'axes : ce sont 
trois longueurs (les coordonnées de l'origine O du second 
système prises dans le premier système) qui déterminent la 
position relative des deux origines O et O , et trois angles 



16 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

qui définissent 1 orientation relative des axes des deux sys- 
tèmes. En géométrie analytique, on établit les formules 
qui permettent, connaissant ces six quantités, de passer 
d'un des systèmes à l'autre, c est-à-dire d'exprimer les coor- 
données nouvelles x , y , z d'un point en fonction des coor- 
données anciennes x, y, z du même point (et inverse- 
ment). 

Tous les systèmes de coordonnées (en nombre infini) 
immobiles les uns par rapport aux autres, constituent, a vrai 
dire, un seul et même système de référence (terme à retenir 
pour la suite), car on peut les supposer tous liés à un 
même corps de référence rigide. Par exemple, pour les phé- 
nomènes terrestres, il est naturel de prendre la terre comme 
corps de référence et d'adopter un système quelconque de 
coordonnées lié à la terre . 

Le groupe de transformations de Galilée. 
— Supposons maintenant que, connaissant les coordonnées 
d'un point dans un premier système de coordonnées S 
(Oxyz), on demande les coordonnées du même point de 
l'espace dans un second système S (O x y z) en mouve- 
ment par rapport au premier système. 

Ici s'introduit une notion nouvelle : mouvement signifie 
changement de position, et ce changement implique la 
notion de temps ". 

Considérons un système S (O x y z) en mouvement 
rectiligne et uniforme par rapport au système S {Oxyz) 
c est-k-dire se mouvant comme un ensemble rigide, par rap- 
port à S, en ligne droite et avec une vitesse constante v. 

1. I! est vrai que la terre, dont l'écorce présente des marées, n'est pas un 
corps rigide, mais précisément on évalue les oscillations de l'écorce terrestre en les 
rapportant à un corps de référence fictif supposé rigide, le géolde. 







y 



LES NOTIONS ANCIENNES d'eSPACE ET DE TEMPS 17 

Pour n envisager que le cas le plus simple, nous suppose- 
rons que les axes des x et des x sont confondus et paral- 
lèles à la direction de la vitesse (fig. 4), que les axes des 
y et des y, des z ^ 

et des z sont pa- 
rallèles, et qu'on 
compte le temps / 
à partir du moment 
ou les deux origi- 
nes O et O sont 
en coïncidence. 
Les formules de 
transformat 1 on 
sont évidentes: 
pendant le temps /, 
le point O s'est 
déplacé, à partir 
du point O, de la 
longueur vt (par 
définition même de 
la vitesse qui est 

égale au quotient du trajet parcouru par le temps employé 
k le parcourir) ; donc, à l'époque /, la coordonnée x d un 
point, quel qu'il soit, est inférieure à la coordonnée x du 
même point dans le système S, de la longueur parcourue 
par O c'est-à-dire de vt ; d'autre part les y et les z restent 
constamment égaux aux y et aux z ; on a donc (avec cette 
disposition particulière des axes des deux systèmes S et S ) 

(3) X = X 




y 



Fin, 4. 



i'/; 



y —y 



z. 



Ce sont les formules de transformation qui permettent de 
passer du système S au système S . Ces trois relations défi- 



2, DECQUEREL 



18 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

nissent une transformation dépendant d un seul paramètre, 
la vitesse v, et toutes les transformations de ce genre cor- 
respondant à toutes les valeurs de V constituent un groupe, 
c'est-à-dire que deux transformations successives de vitesses 
i; et i; équivalent à une transformation unique de même 
forme; on a d'ailleurs pour cette transformation unique une 
vitesse V — v -r- v . 

Ce groupe porte le nom de groupe de Galilée. Il consti- 
tue la base de la cinématique classique. 

Les INVARIANTS FONDAMENTAUX DANS l'aNCIENNE 
CONCEPTION DE l'univers. — La géométrie est la science 
des formes dans l'espace ; elle ne s'occupe pas du temps ; 
cependant, la notion d'espace et la notion de temps inter- 
viennent à la fois dans toutes nos observations, car celles-ci 
sont déterminées, non pas uniquement par des positions ou 
des formes dans l'espace, mais par le fait qu il se passe 
quelque chose en un certain lieu à une certaine époque ; 
nos observations sont donc déterminées par des événements. 
Tout événement possède quatre coordonnées : trois coor- 
données d'espace qui fixent le lieu où il s'est produit (par 
rapport à un corps de référence) et une coordonnée de 
temps (la durée écoulée à partir d'un événement origine 
jusqu'à l'époque où s'est produit l'événement considéré). 

Les constatations d'événements nous conduisent à des 
relations entre diverses grandeurs mesurées par les observa- 
teurs ; ces relations sont les lois de la physique. Il est évi- 
dent que ces lois ne peuvent avoir une réalité objective que 
si elles sont indépendantes de l'observateur, que si elles 
peuvent s'exprimer sous une forme indépendante de tout 
système de référence. Notre premier souci doit être de 
rechercher quels sont les éléments invariants, c'est-à-dire 



LES NOTIONS ANCIENNES d'eSPACE ET DE TEMPS 19 

les grandeurs indépendantes de tout système de coordon- 
nées ; nous allons montrer que, dans 1 ancienne conception 
de l'univers, il existait deux invariants fondamentaux : l'in- 
tervalle de temps écoulé entre deux événements, et la forme 
des figures géométriques. 

LE TEMPS ABSOLU. — Dans les idées anciennes on 
admet que le temps est un invariant : c est l'hypothèse 
du temps universel et absolu. Il est intéressant de chercher 
quelle doit être l'origine de ce postulat. 

Imaginons un certain nombre de systèmes de référence 
en mouvement les uns par rapport aux autres ; dans chaque 
système se trouve un observateur, immobile par rapport à 
son système. 

Deux événements A et B se produisent : pour 1 obser- 
vateur d'un des systèmes, A est antérieur à B. Pourquoi 
s'est-on cru obligé d'admettre que A est nécessairement 
antérieur à B pour tous les autres observateurs, c'est-à-dire 
qu'on ne peut, dans aucun cas, par un changement conve- 
nable du système de référence, inverser 1 ordre de succes- 
sion de deux événements ? 

Cela tient à ce qu'on suppose implicitement que, 
puisque A s'est montré antérieur à B pour un des obser- 
vateurs, il a pu être la cause de B, ou tout au moins qu'il 
aurait pu influencer B. Comme il serait absurde de suppo- 
ser que, pour d'autres observateurs, l'effet puisse être anté- 
rieur à sa cause, on est conduit à penser que l'ordre de 
succession de deux événements est toujours bien déterminé, 
qu'il est le même dans tous les systèmes. 

Demandons-nous maintenant pourquoi on admet que B 
a toujours pu être prévenu de A : c'est parce qu on sup- 
pose la possibilité d'une influence pouvant se propager 
instantanément. Or cette possibilité, non seulement est com- 



20 LE PRINCIPE DE RELATIMTÉ RESTREINT 

patible avec la mécanique ancienne, mais est exigée par 
cette mécanique où 1 on admet la conception du solide 
parfait : avec une tige rigide, on aurait pu signaler instan- 
tanément la production du premier événement au point où 
le second va se produire, et influencer ce second évé- 
nement. 

La notion de possibilité d une propagation instantanée 
entraîne celle de simultanéité absolue : deux événements 
simultanés dans un système de référence sont simultanés 
dans tous les autres. Il résulte de là que, pour des événe- 
ments non simultanés, la durée qui sépare deux événements 
A et B est la même pour tous les observateurs en mouve- 
ment les uns par rapport aux autres : considérons, en effet, 
deux systèmes S et S dans chacun desquels les observateurs 
ont des horloges identiques. Prenons A comme événement 
origine du temps dans chacun des systèmes ; B se produit 
à l'époque / du système S et à l'époque / du système S ; 
la simultanéité étant absolue, les indications / et / des deux 
horloges constituent deux événements simultanés, non-seu- 
lement pour les observateurs des systèmes S et S . mais pour 
tout observateur; cela signifie que les heures marquées sont 
les mêmes pour tous les observateurs : l'intervalle de temps 
séparant A et B est absolu. 

On voit que les notions de solide parfait (corps rigide) 
de propagation instantanée, de simultanéité absolue, de 
durée absolue s'unissent et s'adaptent complètement les 
unes aux autres. Qu'une de ces notions vienne à être ren- 
versée, tout l'échafaudage s'écroulera. 

L*ESPACE ABSOLU. — La notion d'espace absolu dé- 
rive aussi de l'idée du solide parfait, ou encore de l'inva- 
riance de forme des figures géométriques. 

Nous avons dit plus haut que la géométrie ne s'occupe 



LES NOTIONS ANCIENNES d'eSPACE ET DE TEMPS 21 

pas du temps; en termes plus précis, nous pouvons dire 
qu'elle envisage seulement des événements simultanés, car 
la forme d'un objet est l'ensemble des positions simultanées 
de tous ses points (définition de M. P. Langevin). Si l'on 
admet que la simultanéité est absolue, une figure géomé- 
trique a une forme absolue, indépendante de l'état de mou- 
vement du système de référence : par exemple un corps 
qui a la forme d'une sphère pour un observateur doit, 
d'après les idées anciennes, être encore une sphère pour 
tout observateur en mouvement par rapport au premier. 

Nous trouvons alors un invariant fondamental de l'espace 
dans la distance spatiale de deux événements, à condition 
toutefois que ces événements soient simultanés (appendice, 
note l). 

D autres invariants sont d ailleurs envisagés en géomé- 
trie : ce sont les angles, surfaces, volumes. 

Les équations qui expriment les lois de la géométrie sont 
sous la forme requise pour que ces lois soient objectives, 
car elles ne changent pas de forme par application des for- 
mules de transformation de coordonnées quand on passe 
d'un sj'^stème de coordonnées à un autre. 

Cette invariance de forme correspond à une réalité indé- 
pendante de tout système de référence : l'espace de la 
géométrie euclidienne, l'espace absolu. 

Lorsque deux événements ne sont pas simultanés, leur 
distance spatiale cesse d'être un invariant : elle dépend du 
système de référence. Par exemple : un observateur quitte 
un lieu A dans un véhicule qui le transporte dans un lieu B. 
Le départ de A et l'arrivée en B sont deux événements ; 
quelle est leur distance dans l'espace ? cela dépend du 
système de référence : dans un système lié à la terre, cette 
distance est la distance des deux points de la terre A et B ; 



22 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

dans un système de coordonnées lié à l'observateur, la 
distance est nulle, puisque les points de ce système où se 
sont passés les événements sont en coïncidence. 

Amsi, la distance de deux événements non simultanés 
est relative au système de référence. Sans doute, s il y a 
un espace absolu, il doit y avoir une distance absolue dans 
cet espace, mais l'observateur ne peut pas la connaître 
parce que, ignorant son propre mouvement dans l'espace 
absolu, il ne peut pas tenir compte du trajet qu'il a par- 
couru pendant le temps écoulé entre les deux événe- 
ments. 

Voilà un résultat étrange et peu satisfaisant pour 1 es- 
prit : la cinématique classique fait envisager une dissymé- 
trie entre les propriétés de l'espace et celles du temps : 
l'espace que nous percevons serait absolu pour les événe- 
ments simultanés, relatif pour des événements non simulta- 
nés, alors que le tem.ps serait toujours absolu. 

Cette dissymétrie disparaîtra dans l'espace-temps de la 
théorie nouvelle. 

Les BASES de la dynamique newtonienne. — La 
dynamique introduit deux notions nouvelles, celle de force 
et celle de masse. 

Tout d'abord, il existe, dans l'ancienne mécanique, une 
loi fondamentale appelée loi d'inertie de Galilée : tout 
corp-y sur lequel n est appliquée aucune force reste au repos 
ou se meut dans l'espace d'un mouvement rectiligne et uni- 
forme. 

Autrement dit : la matière conserve d'elle-même le 
mouvement acquis, tant qu'aucune influence, appelée force, 
ne l'oblige à modifier son mouvement. L'inertie est cette 
tendance de la matière à garder son état de mouvement. 



LES NOTIONS ANCIENNES d'eSPACE ET DE TEMPS 23 

Lorsqu'une force est appliquée sur un corps, le mouve- 
ment de celui-ci devient accéléré. On appelle accélération 
l'accroissement (positif ou négatif) de la vitesse dcins l'unité 
de temps. Si la force agit constamment dans la direction 
de la vitesse acquise, la trajectoire reste rectiligne, la direc- 
tion de la vitesse n'est pas modifiée mais sa grandeur est 
changée (accélération tangentielle) ; si, à chaque instant, 
la force agit dans une direction perpendiculaire à la tra- 
jectoire (normalement à la trajectoire), la vitesse reste con- 
stante en grandeur mais sa direction est constamment 
modifiée par la force (accélération normale) ; si la force est 
oblique sur la trajectoire, il y a à la fois changement de 
grandeur et changement de direction de la vitesse. 

Ainsi, une force produit une accélération dans la direc- 
tion où elle agit ; le rapport entre la grandeur de la force 
agissante et la grandeur de 1 accélération prise par un corps 

sous l'action de cette force est, par définition, la niasse de 

1 
ce corps . 

Dans la dynamique newtonienne, la masse d'une portion 
de matière est, à priori, considérée comme rigoureusement 
constante, indépendante des changements d'état que la por- 
tion de matière peut subir, indépendante de la vitesse : 
c'est un invariant qui a même valeur dans tous les sys- 

1 . 11 faut bien se garder de confondre la masse et le poids. Le poids d'un corps 
est la force qui agit sur lui dan' le champ de gravitation de la terre ; il faut diviser 
le poids par l'accélération due à la pesanteur pour obtenir la masse. 

En un même lieu, tous les objets tombent avec la même vitesse (dans le vide, 
sinon la résistance de l'air les ralentirait inégalement) ; cela signifie que l'accéléra- 
tion due à la pesanteur est la même pour tous les corps ; à Paris, elle est égale à 
981 en unités C. G. S., c'est-à-dire que pendant chaque seconde, la vitesse déjà 
acquise par un corps qui tombe s'accroît d'une vitesse supplémentaire égale a 
981 centimètres par seconde. L'accélération étant la même pour tous les corps, il y 
a en un même lieu proportionnalité exacte entre les masses et les poids. 

Mais comme la terre n'est pas rigoureusement sp'tiérique, le poids d un corps 
n'est pas le même partout ; il est un peu plus grand aux pôles qu'à l'équateur ; 
cependant la masse reste constante. Sur la lune, les poids des objets seraient 
beaucoup plus petits que sur la terre, mais les masses seraient les mêmes. 



24 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

tèmes de référence et qui caractérise une quantité détermi- 
née de matière. 

La force est une grandeur dirigée, un vecteur ; 1 accé- 
lération est aussi un vecteur qui, d'après ce qui précède, 
est dirigé suivant la direction de la force ; la masse est une 
grandeur qui n'a pas de direction, un scalaire. 

On démontre que les équations fondamentales de la 
dynamique conservent leur forme quand on passe d'un 
système de référence à un autre système en mouvement 
rectiligne et uniforme par rapport au premier (appendice, 
note 2). On peut les résumer par la relation vectorielle, 
indépendante de tout système de coordonnées 

(4) mT=? 

F et V étant les vecteurs force et accélération, et m dési- 
gnant la masse de la portion de matière considérée. 

L'invariance des lois de la mécanique permet d en donner 
des énoncés intrinsèques, de même que les invariants de la 
géométrie (distances, angles, etc.) permettent d'énoncer les 
théorèmes sans faire intervenir des axçs de coordonnées. 

Le PRINCIPE DE RELATIVITÉ DE LA MÉCANIQUE 
NEWTONIENNE. — Puisque les lois de la mécanique sont 
les mêmes dans tous les systèmes en mouvement de trans- 
lation uniforme, // est impossible, par des expériences méca- 
niques faites à l'intérieur d'un système clos, de mettre 
en évidence un mouvement de translation uniforme de ce 
système. 

Le mouvement de translation uniforme n'a donc pas un 
caractère absolu ; on ne peut parler de translation uniforme 
que relativement à un corps de référence considéré, par 
convention, comme au repos. 



LES NOTIONS ANCIENNES d'eSPACE ET DE TEMPS 25 

Ce principe de relativité est conforme à 1 expérience. 

Par contre, il est essentiel de remarquer que toute accé- 
lération a un caractère absolu et peut être mise en évi- 
dence par des expériences intérieures à un système ; l'état 
d'accélération d*un système se manifeste, à l'intérieur de 
ce système, par l'existence d'une force qui, en tout point 
du système, agit sur une masse matérielle proportionnelle- 
ment à cette masse ; on dit alors que dans un système accé- 
léré, il règne un champ de force d'inertie. Voici un exemple 
bien connu : la rotation de la terre autour de la ligne des 
pôles est un mouvement accéléré (tout mouvement qui n'est 
pas à la fois rectiligne et uniforme est accéléré ; ici le mou- 
vement est uniforme, puisque la vitesse de rotation de la 
terre est constante, mais il n'est pas rectiligne). Il règne 
alors, en tout point de la terre, un champ de forces centri- 
fuges : la verticale n'a pas rigoureusement la même direction 
que SI la terre était immobile ; tout projectile est soumis à 
une force (appelée force centrifuge ccmposée) qui dévie sa 
trajectoire ; la même force dévie les vents (vents alizés, vents 
contre-alizés) dans la circulation générale de l'atmosphère ; 
c'est elle enfin qui a été mise en évidence par l'expérience 
célèbre du pendule de Foucault. Si la terre avait été perpé- 
tuellement couverte d'un manteau de nuages, empêchant de 
constater sa rotation par l'observation du mouvement appa- 
rent des étoiles, on aurait cependant mesuré cette rotation 
avec le pendule de Foucault. 



CHAPITRE -fl 

LA RECHERCHE DU MOUVEMENT ABSOLU. 

L'EXPÉRIENCE DE MICHELSON. — LE PRINCIPE 

DE RELATIVITÉ. 



Si, par des expériences mécaniques à l'intérieur d'un 
système clos, il est impossible de révéler un mouvement de 
translation uniforme de ce système, il en est autrement 
lorsque le système n'est plus clos, lorsque l'observateur peut 
se mettre en relation avec un milieu extérieur. Il devient 
alors possible de mettre en évidence et de mesurer la vitesse 
par rapport au milieu extérieur. 

Précisément, pour expliquer la propagation de la lumière, 
les physiciens avaient supposé l'existence d'un milieu doué 
de propriétés quasi-matérielles, Yéther, remplissant tout 
1 espace et pénétrant la matière. On devait donc espérer, 
par des expériences électromagnétiques ou optiques, révé- 
ler un mouvement de translation par rapport à l'éther. 
L'éther s'identifiant en quelque sorte avec l'espace, on a 
appelé ce mouvement le mouvement absolu. 

Imaginons que d'un point A dans l'éther parte un signal 
lumineux instantané. Une seconde plus tard, l'ébranlement 
formera une surface d'onde sphérique ayant pour centre le 
point A et pour rayon 300000 kilomètres, puisque la vitesse 
de la lumière est 300000 kilomètres par seconde. Suppo- 

I. I-'éther devant être le siège de tous les phénomènes électromagnclique5. 
Rappelons que les ondes hertziennes (T. S. F.) sont de même nature que les ondci 
lumineuses. 



EXPERIENCE DE MiCHELSON 



11 




sons qu un observateur soit parti de A en même temps 
que le signal, dans la direction AB et avec la vitesse v 
(fig. 3) ; au bout d'une 

seconde, il sera à la dis- ^ 

tance AB = i; ; il ne se 
trouvera donc plus au cen- 
tre de la sphère et, pour 
lui, la lumière ne se pro- 
pagera pas avec la même 
vitesse dans toutes les di- 
rections : la vitesse de la 
lumière, relativement à cet 
observateur, devra être, si 
I on désigne par c la vitesse 

de la lumière dans l'éther (le rayon de la sphère), BD = c — v 
dans la direction de la vitesse t), BE = c ~f- i; dans la 
direction opposée et BC = \ C — \f dans la direction 
perpendiculaire. L observateur devra pouvoir constater et 
mesurer cet effet. 

Expérience de Michelson. — Voici le principe de 
1 expérience que Michelson a réalisée : Un faisceau de rayons 
lumineux issus d'une source lumineuse et rendus sensible- 
ment parallèles par une lentille tombe sous l'incidence 
de 45" sur une lame de verre A dont la première face est 
légèrement argentée ; cette lame réfléchit une partie du 
faisceau et laisse passer l'autre partie. Après réflexion nor- 
male sur les miroirs Mi et M2 qui sont placés sur deux 
bras rectangulaires, on obtient deux faisceaux qui ont par- 
couru, l'un le chemin SOMiOL (fig. 6), l'autre le chemin 
SOMjOL et qui viennent se superposer suivant la direc- 
tion OL ; ils sont reçus dans une lunette L. Tout se passe 



28 



LE PRINXIPE DE RELATIN'ITE RESTREINT 



comme si le rayon SOMiOL avait parcouru le chemm 
SOM OL, iM étant l'image, appelée plan de référence, 

du miroir Mi pro- 



M 



A 







duite par la lame ar- 
gentée A. 

Avec ce dispositif, 

il se produit un phé- 

^ . . ^ nomène bien connu en 

— ^ optique sous le nom 
d'interférences lumi- 
neuses. Chaque fois 
que deux faisceaux 
lumineux issus d'une 
même source se super- 
posent en se propa- 
geant dans une même 
]j I 1 direction après avoir 

LJ suivi des chemins dif- 

Fic 6. férents, on constate 

des franges, c est-à- 
dire des lignes alternativement brillantes et obscures dues 
au fait qu'en certains points les vibrations lumineuses ajou- 
tent leurs effets, alors x/r 
qu'aux points inter- Z , 

médiaires elles se - '-~ ' ~ .^ M 

détruisent mutuelle- c- , 

riG. 7. 

ment. 

Si les deux bras de l'appareil ont la même longueur, 
c'est-à-dire si le miroir Mj et le plan de référence M sont 
superposés, il suffit d'incliner légèrement le miroir Mj 
(fig. 7) et de viser ce miroir dans la lunette L pour voir 
des franges rectiligncs (fig. 8). En lumière monochroma- 



EXPERIENCE DE MICHELSON 



29 




Fie. 8. 



tique (une seule couleur pure), on voit dans tout le champ 
de la lunette des franges régulièrement espacées, mais 
comme l'espacement des franges dépend de la couleur, si 
l'on emploie de la lumière blanche 
on ne voit plus que quelques franges, 
les autres disparaissant par enche- 
vêtrement des diverses couleurs ; ces 
quelques franges visibles sont irisées, 
sauf une, la frange centrale qui est 
noire et nettement reconnaissable. 
On démontre que cette frange centrale est produite par la 
superposition de ceux des rayons qui ont mis exactement 
le même temps à parcourir les deux chemins'. 

Si la terre est en mouvement dans l'éther, pour l'obser- 
Q vateur entraîné avec elle, la 

vitesse de la lumière doit 
dépendre de la direction. 
Considérons de nouveau la 
^1 \y ^ I D surface sphénque sur laquelle 

doit se trouver un ébranle- 
ment lumineux au bout d'une 
seconde (fîg. 9). La terre se 
trouve en B ; par ce point, 
menons des parallèles aux 
deux bras de l'appareil : BF 
et BG sont les vitesses de 
la lumière, relativement à l'observateur, suivant les directions 
des deux bras de l'appareil ; ces vitesses étant inégales, la 
frange centrale, qui correspond aux rayons ayant mis le 

I. Ne pouvant faire ici la théorie des interférence?, je dois prier le lecteur d'ad 
mettre tous ces résultats. Ici la frange centrale est noire parcj que l'un des rayons 
iSO) se réfléchit en O en venant de l'air, alors que l'autre rayon (MiO) ie réfléchit 
en O en venant de l'intérieur du verre. 




Fie. 9 



30 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

même temps a parcourir les deux bras (aller et retour), ne 
doit pas occuper la position qu'elle aurait si la vitesse était 
la même suivant les deux bras, et sa position doit dépendre 
de l'orientation de l'appareil par rapport au mouvement 
dans léther. Par conséquent, si l'on tourne l'appareil (qui 
est mobile sur une plate-forme}, la frange centrale et avec 
elle tout le système des franges doivent se déplacer par 
rapport au réticule de la lunette. 

Supposons qu'on n observe aucun déplacement ; si l'on 
considère la théorie précédente comme exacte, on doit 
penser que B est au centre de la sphère, c'est-à-dire qu'à 
ce moment particulier la terre est immobile dans l'éther, 
que sa vitesse de translation sur son orbite se trouve, par 
hasard, compenser exactement la vitesse du système solaire 
dans léther. Mais alors, six mois plus tard, la terre ayant 
par rapport au soleil une vitesse égale, mais de direction 
opposée à celle qu'elle avait la première fois, aura, par 
rapport à léther, une vitesse égale au double de sa vitesse 
orbitale, soit une vitesse de 60 kilomètres par seconde. Pour 
observer l'effet, on devra placer 1 appareil de manière que 
la différence des temps mis par la lumière à parcourir les 
deux bras, aller et retour, soit aussi grande que possible, 
c'est-à-dire orienter 1 un des bras dans la direction de la 
translation de la terre sur son orbite : on observera les 
franges en les repérant avec le réticule, puis on permutera 
les rôles des deux bras en faisant tourner la plate-forme d'un 
angle droit ; on devra alors observer un déplacement des 
franges par rapport à leur position précédente. 

L'expérience, faite par M. Michelson en 1881, a été 
répétée par MM. Michelson et Morley (1887), puis par 
MM. Morley et Miller (1904-1905) dans des conditions 
d'extrême précision : par des réflexions successives, le tra- 



EXPÉRIENCE DE MICHELSON 31 

jet de la lumière entre la lame et les miroirs avait été porté 
à Tl mètres. Pour une vitesse de 60 kiL, sec, le déplace- 
ment des franges, par rotation de l'appareil, devait atteindre 
une fois et demie la distance séparant deux franges consé- 
cutives, valeur énorme car la précision des mesures était 
du centième de la distance de deux franges. 

Fait remarquable : on n'a jamais obtenu aucun dépla- 
cement des franges à aucune époque de l'année. Tout .se 
passe comme si la terre était toujours immobile. 

Le désaccord entre l'expérience et la théorie est brutal. 
Nous allons en chercher les causes. 

La contraction de Fitzgerald-Lorentz. — L'ex- 
périence de Michelson montre que la lumière met le même 
temps à parcourir les deux bras de l'appareil (aller et 
retour) quelle que soit leur orientation. Admettant l'iné- 
galité des vitesses de la lumière dans la direction de la 
vitesse de la terre et dans la direction perpendiculaire, on 
trouve que les deux bras sont parcourus dans des temps 
égaux SI 1 on suppose que le bras dirigé dans la direction de 
la vitesse v de la terre s'est contracté, et que sa longueur, 
qui serait / si la terre était immobile, est devenue 

c étant la vitesse de la lumière dans l'éther. (Appendice, 
note 3.) 

L'hypothèse de M. Fitzgerald et de M. Lorentz est 
ainsi la suivante : 

Pour tous les corps, les dimensions linéaires parallèles 
au mouvement dans l'éther subissent un raccourcissement, 
dû uniquement à ce mouvement absolu, dans le rap- 



32 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 



port — =^1 / 1 -• Les dimensions perpendiculaires à 

l \ C 

la vitesse absolue ne sont pas altérées. 

Cette contraction serait, en général, très faible vcinq 
millionièmes de millimètre par mètre pour une vitesse de 
30 kilomètres par seconde) mais elle deviendrait considé- 
rable aux très grandes vitesses, et pour une vitesse égale 
à la vitesse de la lumière 



tous les objets seraient réduits à deux dimensions. L'ob- 
servateur ne s'apercevrait d'ailleurs jamais de la contraction, 
car tous ses instruments de mesure la subiraient, et il la 
subirait lui-mêm.e. I! serait impossible de révéler le mouve- 
ment absolu. 

Cette hypothèse cherche à sauvegarder les bases de la 
mécanique classique et la notion de temps absolu dont elle 
dérive. La contraction serait bien une contraction réelle 
produite par le mouvement absolu dans l'éther; elle serait 
la même pour toute matière. 

Mais est-il vraiment possible d admettre que la contrac- 
tion, SI elle est réelle, soit la même pour tous les corps, 
c'est-à-dire soit indépendante de la substance, quelle que 
soit la rigidité de celle-ci.^ se produit-elle aussi pour les gaz, 
et alors oîi est la limite entre un gaz raréfié et I espace 
vide ? 

Comment admettre que la contraction soit une propriété 
de la matière .^ ne traduirait-elle pas plutôt une propriété 
métrique de l'espace dms lequel nous apparaît la matière ? 
La théorie d'Einstein nous donnera la réponse. 



PRINCIPE DE RELATIVITÉ S3 

Le POINT DE VUE d'Einstein. — Pour rendre compte 
de I insuccès de toutes les expériences électromagnétiques 
ou optiques par lesquelles on avait cherché à révéler le 
mouvement absolu, pour exprimer les faits de la façon la 
plus simple, M. Einstein a énoncé les principes suivants : 

PRINCIPE DE RELATIVITÉ. — Les lois des phéno- 
mènes physiques sont les mêmes dans tous les systèmes 
en translation uniforme les uns par rapport aux autres. 

Ce principe constitue 1 extension aux phénomènes élec- 
tromagnétiques et optiques du principe de relativité de la 
mécanique. Sous la forme précédente il est restreint au cas 
de la translation uniforme. 

PRINCIPE DE LA PROPAGATION ISOTROPE DE 
LA LUMIÈRE. — Dans tout système en mouvement de 
translation uniforme (c'est-k-dire dans lequel ne règne 
aucun champ de force d'mertie), la vitesse de la lumière 
est la même dans toutes les directions ; cette vitesse ne 
dépend pas de l état de mouvement de la source lumineuse. 

Ce principe particulier, conforme au principe de relati- 
vité (restreint), a pour conséquence immédiate que l'expé- 
rience de Michelson ne devait rien donner. Le mouvement 
de la terre sur son orbite peut, pendant la courte durée 
d'une expérience, être considéré comme rectiligne et uni- 
forme ; SI la vitesse de la lumière est la même dans toutes 
les directions, les franges d'interférences gardent évidem- 
ment une position invariable quand on tourne la plate-forme 
de l'appareil de Michelson. 

Nous verrons bientôt comment le principe de relativité, 
joint à la loi de propagation isotrope de la lumière, exige une 
transformation radicale des notions d'espace et de temps. 

i . Diverses expériences électromagnétiques ont conduit à des résultats négatifs 

3. BECQUEREL 



CHAPITRE m 
L'INVARIANCE DE LA VITESSE DE LA LUMIÈRE 



Le temps et la simultanéité. — M. Einstein a, 
dès le début de sa théorie, analysé d'une manière remar- 
quable la notion de temps. 

On doit d'abord remarquer que, dans toutes les circon- 
stances où le temps " joue un rôle, il s'agit toujours 
d'événements simultanés. Quand nous disons : le train 
part à 8 heures, cela signifie : l'indication 8 heures des 
aiguilles de l'horloge et le départ du train sont deux événe- 
ments simultanés. 

La simultanéité de deux événements se produisant au 
même endroit (ou presque au même endroit) se passe de 
définition, mais une définition devient nécessaire quand il 
s'agit de coordonner des événements se produisant en des 
lieux éloignés. 

Considérons un système S (sans accélération). Au 
point A se trouvent un observateur et une horloge immo- 
biles dans ce sj'^stèmc : 1 observateur A peut situer dans le 
temps tous les événements qui se produisent dans son voi- 
sinage immédiat. En un autre point B, se trouvent aussi 
un observateur et une horloge rigoureusement identique à 
rh<->rlngc du point A ; cet observateur B peut, de son côté, 
coordonner tous les événements qui se produisent autour 



l'invariance de la Vitesse de la lumière 35 

de lu!. La question est de coordonner les événements qui 
se passent en A avec ceux qui se passent en B, car il 
s'agit d avoir, non pas seulement un temps de A et un 
temps de B, mais un temps commun aux points A et B. 

Ce temps sera défini de la façon suivante : 

Puisque, dans un même système, la vitesse de la lumière 
est la même dans toutes les directionsipnncipe de l'isotropie 
de la propagation), le temps que met la lumière à aller de 
A en B est égal au temps qu'elle met à aller de B en A. 

Faisons alors partir de A un signal lumineux à l'instant 
/a marqué par l'horloge du point A; ce signal arrive en B 
à l'instant /„ marqué par l'horloge de B ; faisons-le réfléchir 
sur un miroir placé en B de manière à le renvoyer en A ; 
il sera de retour en A à l instant t^ marqué par l'horloge 
de A. 

L'horloge du lieu B est synchrone avec celle du lieu 
A, par définition, si l'on a 

^B /a = /a tu OU 

on peut dire encore que l'horloge de B est synchrone avec 
l'horloge de A lorsqu'un signal lumineux parti de A à 
l'époque /a (temps de A) arrive en B à une époque 
ta (temps de B) telle que 

distance AB 

— c 

/b — /a 

c étant la vitesse de la lumière , 

Cette définition du synchronisme ne soulève aucune 

I . Un setublable proceJé est pialiquemcnt employJ pour la comparaison 
des heures des ob.-ervatoircs et la détermination des langitudci par la T. S. F. 




36 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

objection, car elle est valable pour tous les points du sys- 
tème de ""référence. En effet : 

I ° Si l'horloge de B est synchrone avec celle de A, 
l'horloge de A est synchrone avec celle de B, 

2' Si l'horloge de A est synchrone avec l'horloge de B 
et avec celle d'un troisième point C, les horloges de B et 
de C sont synchrones entre elles. 

Nous comprenons maintenant ce qu'on doit entendre par 
simultanéité de deux événements qui se produisent en des 
lieux différents A et B. L'événement Ea au point A et 
l'événement E., au point B sont simultanés lorsque les 
époques simultanées à ces événements marquées par deux 
horloges synchrones en A et B sont les mêmes. 

Par ces définitions du synchronisme et de la simultanéité, 
nous avons une définition précise du temps d un système 
tout entier. Il est essentiel de remarquer que cette défini- 
tion est basée sur la propagation isotrope de la lumière. 

II est impossible de synchroniser deux horloges en 
mouvement relatif, car nous verrons que deux systèmes en 
mouvement l'un par rapport à l'autre ont des temps diffé- 
rents. 

La VITESSE DE LA LUMIÈRE EST UNE CONSTANTE 
UNIVERSELLE. — Le principe de relativité et le principe 
de l'invariance de la vitesse de la lumière dans un même 
système ont pour conséquence immédiate que la vitesse Je 
la lumière a la même valeur dans tous les systèmes en 
translation uniforme les uns par rapport aux autres. 

Si, en effet, la vitesse de la lumière devait être plus 

grande dans le système S que dans le système S, comme 

toutes les directions de l'espace sont équivalentes dans 

chaque système (isotropie) et que rien ne distingue le 



l'invariance de la vitesse de la lumière 37 

système S du système S puisque les lois physiques sont les 
mêmes dans ces deux systèmes (principe de relativité), la 
vitesse de la lumière devrait aussi être plus grande dans S 
que dans S ; on arriverait à une contradiction. Il faut donc 
que la vitesse de la lumière soit une constante uni- 
verselle. 

Il est essentiel de bien préciser la signification de ce ré- 
sultat : nous supposons que, dans divers systèmes en trans- 
lation uniforme, les observateurs sont munis des mêmes 
étalons de longueur, c'est-à-dire de règles qui, si on les 
mettait à coté les unes des autres dans un même système 
(et bien entendu dans des conditions physiques rigoureu- 
sement identiques) auraient la même longueur ; nous sup- 
posons aussi que les observateurs ont des horloges étalons 
identiques (appendice, note 4). Dans ces conditions, si ces 
divers observateurs prennent, chacun dans son système, une 
base (de longueur et d'orientation quelconque} et mesurent 
le temps employé par la lumière à parcourir cette base, en 
divisant le nombre qui mesure la base par le nombre qui 
mesure l'intervalle de temps, ils doivent tous trouver le 
même quotient. 



cil \PITRE IV 

LA TRANSFORMATION DE LORENTZ 
RELATIVITÉ DE L'ESPACE ET DU TEMPS 



Le groupe de Lorentz. — On démontre (appen- 
dice, note 5) que le principe de relativité et l'invariance de 
la vitesse de la lumière conduisent à des formules de trans- 
formation de coordonnées profondément différentes de 
celles de Galilée (chap. I, form. 3). Si deux observateurs 
appartenant à des systèmes de référence différents S et S 
en translation uniforme choisissent un même événement 
origine et des axes de coordonnées ayant la disposition 
simple précédemment indiquée (chap. I, fîg. 4), les coor- 
données d'espace et de temps d un même événement noté 
X, y, z, t par l'observateur du système S ^\ x , y , z , t par 
l'observateur du système S doivent être unies par les rela- 
tions suivantes : 



X — — (x -\- vl) 
a 




ou (6) ''-' 



('' 



VX_ 

c" 



V désigne la vitesse du système S par rapport au système S ; 



LA TRANSFORMATION DE LORENTZ 39 

/ ^ 

L désigne la vitesse de la lumière; 'J- représente ^ ] — -t 
(abréviation à retenir pour la suite). '' ^ 

Il est essentiel de noter que ces formules sont soumises 
à la restriction de la relativité restreinte, c est-à-dire ne 
s'appliquent qu'à des systèmes en mouvement rectiligne et 
uniforme. 

Les formules 5 expriment le passage de S à S et les 
formules 6 le passage de S à S. On voit que les formules 6 
ne diffèrent des formules 5 que par la permutation des 
lettres accentuées et des lettres non accentuées et par le 
remplacement de i: par — v ; par conséquent, si D est la 
vitesse de S par rapport à S, la vitesse de S par rapport 
à S est — L\ 

Le groupe de transformations représenté par les formules 
qui précèdent a été découvert par M. H. -A. Lorentz, 
puis retrouvé par M, Einstein comme conséquence des 
principes qu'il a énoncés. M. Lorentz l'a obtenu en cher- 
chant les conditions pour que les lois générales de l'élec- 
tromagnétisme, exprimées par les formules de Maxwell, 
gardent la même forme dans tous les systèmes de référence 
(en translation uniforme), c'est-k-dire soient les mêmes dans 
tous les systèmes, condition nécessaire pour qu'elles aient 
une réalité indépendante de l'observateur. M. Lorentz a 
établi : 

I " que les équations fondamentales de 1 électromagné- 
tisme n'admettent pas le groupe de transformations de la 
mécanique (groupe de Galilée), c'est-à-dire qu'en effectuant 
dans ces équations les transformations de ce groupe, on 
obtient des équations d'une forme tout à fait différente. 

2" que ces équations admettent un autre groupe de trans- 
formations, celui exprimé par les formules 5 et 6, 



40 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

La différence entre le groupe de Lorentz et celui de 
Galilée est profonde. Au lieu du temps t du système S, // 
faut introduire dans le système S un autre temps t que 
M. Lorentz a appelé temps local (parce qu'il dépend de 
la coordonnée x du lieu considéré). 

M. Lorentz avait considéré ce temps local comme une 
fiction mathématique. Il appartient k M. Emstem de lui 
avoir attribué une réalité physique : c est le temps que 
marquent, dans le système S , des horloges identiques à 
celles qui, dans le système S, mesurent le temps /. 

Les lois de la mécanique doivent être com- 
patibles AVEC CELLES DE l'ÉLECTROMAGNÉTISME. — 
En résumé, les deux principes énoncés par M. Einstein 
(chap. Il), le principe de relativité et le principe de l'iso- 
tropie de la propagation de la lumière ont pour consé- 
quence : 

P que la vitesse de la lumière est une constante uni- 
verselle ; 

2" que les transformations des coordonnées d espace et 
de temps, quand on passe d'un système à un autre (sous 
la réserve de la translation uniforme) sont les transforma- 
tions du groupe de Lorentz. On peut vérifier que ces trans- 
formations conservent leur structure aux équations du champ 
électromagnétique. 

Inversement, si l'on cherche, comme l'avait fait M. Lo- 
rentz, les formules de transformation qui laissent invariantes 
les lois de l'électromagnétisme, on obtient les formules (5) 
et (6) qui impliquent la constance de la vitesse de la lu- 
mière et la relativité du temps. 

Nous sommes donc en présence de deux groupes de 
transformations : 



LA TRANSFORMATION DE LORENTZ 41 

l '^ Le groupe de Galilée, qui seul laisse invariantes les 
lois de la mécanique classique ; 

2'^ Le groupe de Lorentz, qui seul laisse invariantes les 
lois de l'électromagnétisme. 

Doit-on conserver à la fois les lois de la mécanique clas- 
sique avec le groupe de Galilée, et les lois de l'électroma- 
gnétisme avec le groupe de Lorentz ? 

Cela est impossible. Les premières admettent un temps 
absolu, les secondes impliquent un temps relatif : Adopter 
le temps absolu de la mécanique, c'est renoncer à l'inva- 
riance des lois de 1 électromagnétisme ; adopter le temps 
relatif de 1 électromagnétisme, c'est abandonner la méca- 
nique newtonienne. Il y a bien incompatibilité radicale, car 
il n y a qu'un seul temps physique dans un même système 
de référence. 

Le désaccord qui s'est manifesté entre la théorie méca- 
nique de l'expérience de Michelson et le résultat expéri- 
mental apparaît comme la cause d'un conflit entre les lois 
de la mécanique classique et celles de l'électromagnétisme. 

Il faut choisir, et il n'est pas permis d'hésiter, puisque 
le choix est imposé par l'expérience : les lois de l'électro- 
magnétisme sont trop bien vérifiées pour qu'on puisse son- 
ger à les abandonner ; l'expérience est d'accord avec le 
groupe de Lorentz qui exprime l'invariance de ces lois. Cela 
est d'ailleurs logique et l'on devait s'y attendre : les lois 
de 1 électromagnétisme ont été établies dans un système de 
référence qui n'est nullement privilégié dans l'univers ; elles 
s expriment sous une forme claire et simple, et devien- 
draient compliquées par une transformation différente de 
celle du groupe de Lorentz. Il serait déraisonnable de 
supposer que ces lois simples sont spéciales à un système de 
référence lié à la terre et d'ailleurs la preuve de leur inva- 



42 LE PRINCIPE DE RELATIX'ITÉ RESTREINT 

riance est le fait qu'elles ne changent pas dans le cours de 
l'année, malgré le changement du système de référence, la 
terre changeant de direction sur son orbite. 

Au contraire, nous n'avons aucune raison de considérer 
les lois de la mécanique comme exactes ; elles peuvent pa- 
raître valables dans les phénomènes ordinaires, trop gros- 
siers pour qu une discordance se révèle, mais dès qu'il 
s'agit de phénomènes comportant, comme l'expérience de 
Michelson, une vérification d'une haute précision, le dés- 
accord apparaît. 

Ainsi, le résultat de Michelson, l'échec de toutes les 
tentatives faites pour révéler le mouvement absolu de la 
terre, tiennent à des causes profondes, qu'on n'avait pas 
soupçonnées dans les débuts de la théorie électromagné- 
tique, mais qu'on s'explique aujourd'hui. // faut renoncer 
à considérer les lois de la mécanique classique comme des 
lois rigoureuses ; il faut soumettre la mécanique aux lois 
de r électromagnétisme, en appliquant à tous les phénomènes 
les formules de transformation d espace et de temps du 
groupe de Lorentz. Les lois classiques deviennent alors des 
approximations, d'ailleurs excellentes dans la plupart des 
cas : on remarque, en effet, que si la vitesse de la lumière 
était infinie, on aurait les formules de Galilée. Or la vitesse 
de la lumière est très grande, et tant que le carré de la 
vitesse des corps (vitesse par rapport a l'observateur) peut 
être négligé vis-k-vis du carré de la vitesse de la lumière, 
on peut se servir de la mécanique habituelle. 

On voit, par cette dernière remarque, que le désaccord 
entre la mécanique newtonienne et l'électromagnétisme est 
un aspect du conflit profond qui a dominé la physique jus- 
qu'à l'époque actuelle : le conflit entre la théorie des actions 
à distance instantanées admise en mécanique céleste jus- 



RELATIVITÉ DE lV.SPACE ET DU TEMPS 43 

qu'à la découverte de la loi nouvelle de la gravitation (loi 
d'Einstem), et la théorie de l action de proche en proche 
avec vitesse finie, à laquelle Maxwell a donné son plein 
développement. 

Les équations de Maxwell entraînent la négation du 
temps physique absolu ; impliquant la notion de temps 
relatif, ces équations interdisent la possibilité d'une relation 
de cause à effet, quelle qu elle soit, pouvant se propager 
avec une vitesse infime. 

Nous affirmons donc que la seule cinématique ayant un 
sens expérimental et aussi grâce à laquelle les lois de la 
physique prennent une forme simple, indépendante du 
système de référence, est la cinématique du groupe de 
Lorentz. (M. -P. Langevin. ') 

C'est là la base solide de la théorie de la relativité et de 
la mécanique nouvelle. 

L'espace et le temps relatifs. — Avec les for- 
mules de Lorentz, où le temps n est plus un invariant, nous 
voyons disparaître la dissymétrie qui, avec le groupe de 
Galilée, existait entre l'espace et le temps. Dans l'ancienne 
cinématique, la distance spatiale de deux événements non 
simultanés dépendait du système de référence, mais l'inter- 
valle de temps écoulé entre eux était absolu. Maintenant, 
la durée écoulée est relative, tout comme 1 intervalle 
d'espace. Soient, en effet, deux événements (indices 1 
et 2); les formules de Lorentz (éq. 5) donnent : 

\ Xi — Xi = — {xî — xi) — — vQi — ti) 

(7) 

/ /.-/,^ ' a-/,)-J-4(.,,-.v,) 

\ Bulletin de la société des électriciens, n 84, déc. I9I9. 



44 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

La symétrie de ces deux équations est remarquable. 

// n'y a plus de simultanéité absolue, car lorsque deux 
événements sont simultanés dans un sj'stème (/i ^ ti) ils 
ne sont simultanés dans aucun autre système en mouvement 
par rapport au premier (puisque d'après la seconde équa- 
tion (7) t\ est différent de ti), a. moins que ces événements 
ne coïncident à la fois dans 1 espace et dans le temps. 
Dans ce dernier cas, la coïncidence a heu dans tout 
système, il y a coïncidence absolue. On comprend aisément 
que la coïncidence dans 1 espace et dans le temps ait un 
sens absolu, car il peut en résulter un effet sur lequel tous 
les observateurs sont nécessairement d'accord (par exemple 
rupture de deux objets par choc mutuel). 

La relativité complète de 1 espace et du temps perçus 
par chaque observateur entraîne la suppression des notions 
de système fixe et de mouvement de translation absolu. 
L'éther, du moins celui admis autrefois, doué de propriétés 
élastiques et mécaniques, doit être supprimé. Nous verrons, 
dans la relativité généralisée, par quelle conception on peut 
le remplacer. 

La composition des vitesses. — Un observateur 
(système S) voit passer un train avec une vitesse c, dans 
le train (système S ) un homme se déplace avec la vi- 
tesse V (par rapport au train), quelle est la vitesse de cet 
homme par rapport à l'observateur P 

On est tenté de répondre v~hv . C est en effet la loi 
de composition des vitesses qui résulte de l'ancienne ciné- 
matique. 

Cela paraît évident, parce qu il est difficile de se débar- 
rasser des anciennes notions d'espace et de temps. Cepen- 
dant il résulte des formules de Lorentz (appendice, note 6) 



RELATIVITÉ DE l'eSPACE ET DU TEMPS 43 

que la vitesse v du mobile, mesurée dans le système S, 
est, non pas f + i), mais 



(8) 



V — 







vv 
c' 



Cette formule s'applique à la composition de deux 

vitesses mesurées dans des systèmes différents [o est 

mesurée dans le système S, v est mesurée dans le sys- 
tème S ). 

Evidemment, dans l'exemple du train, le terme — - qui 

c' 

intervient au dénominateur est absolument négligeable, de 
sorte que la loi ancienne est une approximation plus que 
suffisante ; mais il n'en serait plus de même si les vitesses 
étaient considérables : supposons un observateur A et deux 
observateurs B et C s'éloignant de A, dans des directions 
opposées, avec la vitesse, mesurée par A, de 200000 kilo- 
mètres par seconde. Pour l'observateur A, les observateurs 
B et C s'éloignent l'un de l'autre de 400000 kilomètres 
par seconde — ceci reste exact, bien entendu — mais si 
chacun des observateurs B et C mesurait la vitesse de 
Tautre, il trouverait seulement 277000 kilomètres par 
seconde. 

La nouvelle loi de composition des vitesses montre qu un 
mobile, par accroissements successifs de vitesse à partir de 
sa vitesse primitivement acquise, n'atteint jamais la vitesse c 
de la lumière. La vitesse de la lumière est une vitesse 
limite qui ne peut être dépassée, et si l'une des vitesses 
V ou V était égale a c, on trouverait encore v — c. 

L'expérience de Fizeau, dite *' entraînement 



46 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

DES ONDES LUMINEUSES PAR LA MATIÈRE EN MOUVE- 
MENT . — Une célèbre expérience, réalisée en 1851 par 
Pizeau, vérifie remarquablement bien la nouvelle loi de 
composition des vitesses. 

On sait que dans la matière au repos (par rapport à 

l'observateur) la vitesse de la lumière est -- n étant l'indice 

n 

de réfraction de la matière, variable avec la radiation em- 
ployée '. 

Quelle est, pour l'observateur, la vitesse de la lumière 
dans un milieu animé d'une vitesse v ? Fresnel a déduit de 
considérations théoriques que cette vitesse doit être 

c _^ 
n 

la vitesse d'entraînement " ci I ; | s'ajoutant à la 

n 

vitesse — dans la matière au repos ou se retranchant de 
n 

cette vitesse selon que le sens du mouvement de la matière 

est celui de la propagation de la lumière ou le sens 

opposé. 

La formule de Fresnel a été vérifiée par Fizeau. Ce 

physicien a observé les franges d'interférences produites par 

deux rayons issus d'une même source, après passage en des 

sens opposés dans des tubes remplis d'eau, et a déduit des 

mesures du déplacement des franges, lorsque l'eau est en 

mouvement, que le * coefficient d'entraînement " est 



ijien 



n I 



I C c-l parce oiic /i varie d'une radiation à l'autre que le pri-.me bépare Icî 
diverses couleur^ dont la ouperpo ilion constitue la lumière blanche. 



RELATIVITÉ DE l'eSPACE ET DU TEMPS 47 

Ce résultat avait été interprété en admettant un entraî- 
nement de l'éther, non pas total, mais partiel | avec une 



vitesse V 



^(l-v) 



interprétation étrange car I entrame- 



ment de l'éther dépendrait de n, c'est-à-dire dépendrait de 
la couleur de la radiation employée. 

Cette loi d'entraînement s'explique immédiatement, de 
la façon la plus simple, par la cinématique nouvelle. 

Il suffit d'écrire la loi de composition des vitesses (8). 
Le courant d'eau (système S ) coule relativement à l'obser- 
vateur (système S) avec la vitesse t;. Le rayon lumineux 
se propage dans l'eau (système S ) avec la vitesse 



la vitesse l' de ce raj-^on mesurée par 1 observateur est 
donc, d'après (8), 



V n 



VI) . I V 

c' en 



approximativement -- + y( 1 7 )' 



C'est bien le résultat vérifié par Fizeau. 

Il convient de mentionner que M. Lorentz avait expli- 
qué ce phénomène par l'action des électrons entraînés avec 
la matière, mais cette explication, basée sur les lois Je 
iélcclromagnétismc, n'est au fond qu'une forme déguisée 
de l'explication relativiste. 



CHAPITRE V 
L'UNIVERS DE MINKOWSKI 



A 1 heure actuelle. 1 espace et le temps 
considérés en euxniêmes doivent disparaître 
comme des fantômes et seule leur union peut 
posséder une mdividualité 

H. MiNkOWSKI 

(Raum und Zeit. 1908.) 



Union de l'espace et du temps. — Soient deux 
événements quelconques. Lorsqu on les repère dans des 
systèmes différents, la durée T qui les sépare et la distance 
spatiale / des points où ils se produisent varient d'un sys- 
tème à l'autre, mais la quantité 

(9) 5^ =: C'T — l' 

a la même valeur dans tous les systèmes ; on le vérihc 
immédiatement en appliquant les formules de Lorentz. 

En langage ordinaire, le carré du produit de la vitesse 
de la lumière par le temps écoulé entre les événements, 
diminué du carré de leur distance dans l'espace, est une 
quantité indépendante de tout système de référence (en 
translation uniforme). 

L'INVARIANT s EST L'INTERVALLE D'UNIVERS, 
il vient remplacer les deux invariants d'autrefois (chap. l) ; 
le temps et la distance dans l'espace de deux événements 
simultanés. 

Dans la théorie ancienne, la réalité objective du temps 
était affirmée par l'invariance du temps (le temps universel 



l'univers de minkowski 49 

et absolu) ; la réalité objective de l'espace résultait de 1 in- 
variance de la distance géométrique de deux points (dis- 
tance de deux événements simultanés). 

Il n'y a plus maintenant d'espace absolu ni de temps 
absolu ; il ne subsiste qu'une réalité unique affirmée par 1 in- 
variant .s. La modification est radicale : le nouvel invariant 
contient à la fois les trois coordonnées d espace x, y, z et 
la coordonnée de temps / 

(10) 5==cX/2-;,)— (.v,-x,)— (J/i-i/.)^-fe-^l)^ 

L'espace et le temps, unis par cet invariant, ne sont pas 
indépendants et leur union seule possède une individualité. 
L' Espace-Temps ou Univers est l'ensemble des événements ; 
c'est une multiplicité quadridimensionnelle . 

L'Univers est indépendant du système de référence qui 
sert à repérer les événements ; chaque système est une 
division particulière de l'Univers en espace et en temps. 

L'espace reste toujours l'ensemble des événements simul- 
tanés ; c'est une " coupe de l'Univers à temps donné 
(P. Langevin). Cette définition s'applique à l'ancienne 
conception de l'espace et à celle d'aujourd hui, mais la dif- 
férence est profonde : la conception compatible avec la 
mécanique newtonienne admettait un temps universel, et 
la coupe était la même pour tous les systèmes, il n y avait 
qu'une division de l'Univers en espace et en temps — d où 
la possibilité d'envisager séparément l'espace et le temps — 
la forme des corps était la même pour tous les obser- 
vateurs. 

Dans l'Univers de Minkowski, la simultanéité étant rela- 
tive, la coupe à temps donné dépend du système de réfé- 
rence : la forme des corps n'est plus invariable, il y a une 
infinité d'espaces euclidiens dans CUrAvers euclidien 

4. BH.yLEJttL 



50 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

unique à quatre dimensions (comme en géométrie il y a 
une mlînité de plans dans l'espace euclidien à trois dimen- 
sions). 

Propriétés des couples d'événements (P. Lan- 
GEVIn). — Soient A et B deux événements. Trois cas 
peuvent se présenter, le carré 5' de l'intervalle est négatif, 
nul, ou positif. 

I" COUPLES DANS L'ESPACE. — Si 5' est négatif, 
cela veut dire : dans tous les systèmes de référence, la dis- 
lance / des points oti se produisent ces événements est plus 
grande que le trajet cT que parcourt la lumière dans l'in- 
tervalle de temps qui les sépare. 

Une application simple des formules de Lorentz permet 
d'établir que deux tels événements n'ont pas un ordre de 
succession déterminé. Il existe une infinité de systèmes de 
référence dans lesquels A est antérieur à B, une infinité de 
systèmes dans lesquels A est, au contraire, postérieur à B, 
enfin un système dans lequel A et B sont simultanés. 

La distance spatiale de ces deux événements est mini- 
mum dans le système pour lequel ils sont simultanés car 
5' = c'T" — /" étant constant, /' est minimum lorsque T 
est nul. 

Deux tels événements qui, par un choix convenable de 
la division de l'Univers en espace et en temps peuvent être 
amenés en coïncidence dans le temps, mais jamais dans 
l'espace, forment un couple d'événements dans l'espace. 

Deux événements constituant un couple dans L'espace 
sont absolument indépendants, car s'il existait entre eux un 
lien de cause à effet, comme leur ordre de succession n est 
pas déterminé, la cause serait, pour certains observateurs, 
postérieure à l'effet, ce qui est absurde : comme dit 



L*UN1VERS DE MINKOWSKI 51 

M. Einstein on ne peut pas télégraphier dans le passé . 

T COÏNCIDENCE ABSOLUE. — Lorsque 5 est nul, on 
a dans tous les systèmes / = cT ; c est le cas qui se pré- 
sente pour deux points d'Univers " d'un rayon lumineux, 
puisque le trajet / parcouru par la lumière (dans le vide) 
pendant le temps T est précisément cT. Dans le cas où / 
et T sont nuls tous deux dans un système, ils sont nuls 
dans tous les systèmes ; les deux événements sont en coïn- 
cidence absolue. 

3" COUPLES DANS LE TEMPS. — Lorsque l'inva- 
riant 5' est positif, la distance spatiale / est, dans tous les 
systèmes de référence, plus courte que le trajet cT de la 
lumière pendant la durée écoulée entre les deux événe- 
ments. Le calcul montre que 1 ordre de succession des deux 
événements considérés a un sens bien déterminé. On ne 
peut jamais les rendre simultanés, c'est-à-dire trouver un 
système de référence pour lequel ils soient en coïncidence 
dans le temps ; mais en peut les amener en coïncidence 
dans I espace, et la durée T qui les sépare est minimum 
dans le système pour lequel ils coïncident dans l'espace. 

Deux événements pour lesquels s~ est positif forment un 
couple dans le temps. Ils peuvent être unis par un lien de 
causalité ; ils peuvent aussi, bien entendu, être indépen- 
dants, mais toujours le premier événement a pu être 
annoncé au lieu où le second va se produire, puisque la 
distance spatiale qui les sépare est, dans tous les systèmes, 
plus courte que le trajet cT que parcourt, dans le temps T, 
un signal lumineux ou électromagnétique. 

L'invariant s' est donc positif ou négatif suivant qu'un 
des événements peut ou non influer sur l'autre ; il indique 
la possibilité d'influence ou d'action " d'un des événe- 
ments sur l'autre (M. P. Langevin). 



52 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

La contraction des longueurs. — Dans deux 
systèmes de référence en mouvement relatif, prenons des 
axes ayant la disposition simple que nous avons adoptée 
(fig. 4). Imaginons une tige, parallèle aux axes Ox, Ox , 
immobile dans le système S et par conséquent se dépla- 
çant, dans le système S, avec la vitesse i' dans le sens de 
sa longueur. 

Prenons comme événements A et B les positions des 
extrémités de la tige à un même instant pour 1 observateur 
du système S ; ces deux événements étant en coïncidence 
■dans le temps pour le système S forment, d'après ce qui 
a été dit plus haut, un couple dans 1 espace, et leur distance' 
spatiale est minimum dans le système S où ils sont simultanés. 

Pour l'observateur du système S, la distance spatiale des 
positions simultanées des extrémités de la tige est la lon- 
gueur de cette tige ; la tige est donc plus courte pour l'ob- 
servateur du système S que pour 1 observateur du système S 
pour qui les événements A et B ne sont plus simultanés. 

Ainsi, pour l'observateur S qui voit passer la tige, celle- 
ci est plus courte que pour 1 observateur S pour qui la tige 
est immobile ; il est facile de calculer (appendice, note 7) 
que le rapport entre les longueurs de la tige animée de la 

^vitesse v et de la même tige au repos est \ / 1 — -7 • 

V c- 

C'est précisément la contraction Je Fitzgerald-Lorenlz 
(chap. 11) mais ici cette contraction n'a plus aucun carac- 
tère absolu, et elle ne prête plus aux objections que nous 
avons faites. En somme, elle résulte simplement de la ma- 
nière différente dont les deux observateurs envisagent la 
simultanéité, et du fait que la forme d'un corps en mouve- 
ment ne peut être définie que comme l'ensemble des posi- 
tions simultanées des différents points de ce corps. 



l'univers de minkowski 53 

La contraction est tellement peu absolue, qu'elle est réci- 
proque, c est-à-dire que si deux tiges identiques sont 
immobiles, l'une dans le système SI autre dans le système S , 
chaque observateur estime que la tige de l'autre système est 
plus courte que celle de son système. 

Le fait qu'un objet en mouvement est contracté dans le 
sens du mouvement ne signifie donc pas que l'objet a été 
réellement modifié par le mouvement ; il signifie qu'un 
observateur hé à 1 objet et un observateur en mouvement 
par rapport à l'objet ne font pas la même décomposition de 
1 Univers en espace et en temps, que 1 espace relatif à l'objet 
et 1 espace relatif à l'observateur qui le voit passer ne sont 
pas les mêmes (ainsi que nous l'avions fait pressentir, 
page 32). 

La dilatation du temps (Einstein). ~ La con- 
traction des longueurs a une contre-partie, la dilatation du 
temps. Le calcul montre (appendice, note 7) que, pour les 
observateurs immobiles dans un des systèmes S ou S , les 
horloges de l'autre système retardent : cha que observateur, 

dans son système, divise par % / I — ^ les intervalles de 

temps mesurés par une horloge au repos dans l'autre système. 

Les lignes d'univers (Minkowski). — Suivons main- 
tenant la succession continue des événements qui consti- 
tuent la vie d une même portion de matière ou d'un même 
être. Leur ensemble forme dans l'Espace-Temps une ligne 
d'Univers, comme en géométrie une succession continue de 
points forme une ligne dans l'espace. 

En géométrie, pour mesurer un arc de courbe AB, on 
décompose cet arc en cordes rectilignes très petites, et l'on 



54 



LE PRINCIPE DE RELATIVITE RESTREINT 



fait la somme de ces petites cordes Aa, ab, bc, etc.. 
(fig. 10); plus les cordes sont petites 
(et en même temps, bien entendu, 
plus grand est leur nombre), plus la 
somme de leurs longueurs est voisine 
de la longueur de l'arc de courbe, 
ce qu'on exprime en disant que la 
longueur de l'arc AB est X intégrale, 
prise de A à B, des cordes infiniment 
petites. On a l'habitude de désigner 
une intégrale ou sommation de quan- 
tités infiniment petites (en nombre 

f. 




infini) par le signe 

(11) 



et 1 on écrit 



arc 



AB = / ' J/ 



en désignant par dl l'une quelconque des cordes infiniment 
petites (1), ou ce qui revient au même, un arc de courbe 
élémentaire, car 1 arc de courbe et la corde rectiligne entre 
deux points tendent à avoir la même longueur si les deux 
points se rapprochent indéfiniment. Ainsi, il est bien entendu 

que le symbole / dl signifie la somme des cordes infini- 

. A 

ment petites, ou ce qui est la même chose la somme des 
arcs de courbe élémentaires, depuis le point A jusqu au 
point B. 

Opérons de la même manière pour une ligne d Univers 

1. La lettre J qui précède une autre lettre dcsignant une grandeur est le sym- 
bole employé pour indiquer que la grandeur con-^idérée est infiniment petite. 
Les formules contenant des grandeurs infiniment petites ne sont pa> rigoureuses 
pour des grandeurs très petites, mais elle? sont d'autant plus approchées que 
ces grandeurs sont plus petites ; elles sont donc valables à In limite, pour des gran- 
(jeurs infiniment petites. 



L*L'NIVERS DE MINKOWSKI 55 

quadridimensionnelle : entre deux points-événements A et B 
de cette ligne, nous décomposons la succession continue 
d'événements en intervalles " ds infiniment petits, dans 
chacun desquels le mouvement de la portion de matière envi- 
sagée peut être considéré comme rectiligne et uniforme 
(de même qu'en géométrie chaque arc élémentaire peut être 
confondu avec la corde rectiligne). 

D'après ce que nous avons vu au début de ce chapitre, 
chacun de ces intervalles élémentaires est un invariant 
(comme en géométrie la longueur des cordes infiniment pe- 
tites est indépendante du sj'stème de coordonnées}. La lon- 
gueur de l'arc de ligne d'univers, qui est la somme des 
intervalles infiniment petits, c'est-à-dire l'intégrale 



• = / 



ds 



étendue à tous les couples d événements infiniment voisins 
qui se succèdent d'une manière continue le long de la ligne 
d'Univers, a donc une valeur indépendante du système de 
référence. 

Prenons comme système de référence un s^'stème lié à 
la portion de matière considérée : dans ce système, tous les 
événements concernant cette portion de matière sont fixes 
dans l'espace, puisqu'ils occupent la même position par rap- 
port aux axes du système ; donc, puisqu'on peut les amener 
en coïncidence dans l'espace, pris deux a deux ils consti- 
tuent des couples dans le temps. Par suite leur ordre de 
succession ne peut être inversé : le passé, le présent et 
l'avenir gardent un ordre immuable pour les événements 
oncernant un même objet ou un même être. 

Le temps propre (Minkowski). — Sur la ligne d'Uni- 



56 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

vers d'une portion de matière, choisissons deux événements 
infiniment voisins, séparés par un intervalle d'Univers cls 
(infiniment petit) ; soient J/leur distance spatiale (infiniment 
petite) et dt l'intervalle de temps (infiniment court) qui 
s'écoule entre eux, dans un système de référence quel- 
conque. Nous avons, d'après la définition même de l'inter- 
valle (éq. 9), 

(12) J.s" = c'dt' — J/~ = invariant. 

Dans le système de référence lié à la portion de ma- 
tière, (il est nul ; soit J~ 1 intervalle de temps dans ce sys- 
tème 

ds' = c'(]~ ou ds = cd~ 

et, par intégration entre deux événements A et B quel- 
conques pris sur la ligne d'Univers 

(13) arc de ligne d'Univers ^^ f ds^==^ c f d~ 

d~ est réîémcnf de /cmp.s propre de la portion de matière 
considérée et de tout le système qui lui est lié. Le temps 

propre total / d~ écoulé entre deux événements A et B 

I A 

est le temps que mesurera un observateur, c est le temps 
qu'enregistreront les horloges dans ce système. Ce temps 
propre est indépendant de tout système de référence. 

Ainsi une horloge liée à un mobile (dont le mouvement 
n'a plus besoin ici d'être soumis à la restriction delà trans- 
lation uniforme) mesure la longueur, divisée par c, de l arc 
de ligne d'Univers de ce mobile. 

Nous avons vu que lorsque deux événements forment 
un couple dans le temps, la durée qui les sépare est mmi- 



l'univers de minkowski 57 

mum dans le S3^stème pour lequel ils sont en coïncidence 
dans 1 espace ; le temps propre jouit donc de cette propriété 
de minimum, il est plus court que le temps évalué dans 
tout système en translation uniforme. 

On démontre (appendice, note 8) que si un mobile est 
animé d'une vitesse o dans un système S en translation uni- 
forme, l'élément de temps propre d' écoulé entre deux évé- 
nements infiniment voisins pris sur sa ligne d Univers est 
lié à 1 élément de temps cit mesuré entre les deux mêmes 
événements dans le système S, par la relation 

(14) d- = y.dl. (.= y/l— 4)- 

Le coefficient y- est d autant plus petit que la vitesse v 
est plus voisine de la vitesse de la lumière. Le temps propre 
csl donc d'autant plus court (par rapport au temps du sijs- 
tcme S en translation uniforme) que la vitesse du mobile 
dans le système S est plus grande. 

On démontre encore (note 8) qu'entre deux événements 
déterminés, la plus longue ligne d'Univers est celle qui cor- 
respond au mouvement rectiligne et uniforme. Il n'y a 
pas de ligne de plus courte distance, mais il existe une infi- 
nité de lignes d Univers de longueur nulle, qui correspon- 
dent à toutes les trajectoires imaginables des raj'ons lumi- 
neux entre les deux événements (pour un rayon lumineux, 
on a toujours dl = cdt et par conséquent ds == 0). 

D'étranges conséquences se déduisent de ces résultats. 

1 " Dans un système en translation uniforme — la terre 
par exemple, car son accélération est négligeable — deux 
horloges identiques et synchrones sont au même endroit. On 
déplace I une très rapidement et on la ramène près de l'autre 
au bout du temps / (temps du système) ; le temps propre de 



58 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

1 horloge qu on a déplacée, à laquelle on a fait subir une 
accélération, ayant été plus court que le temps du système 
uniforme, cette horloge se trouve en retard sur l'autre 

horloge, de i — / y-dt. C'est l'accélération qui a créé la 

dissymétrie ; on reconnaît ici le caractère absolu de l'accé- 
lération signalé à la fin du chapitre I. 

2" Dans les mêmes conditions, un échantillon de ma- 
tière radioactive aura moins évolué que celui qui n'a pas 
été déplacé, qui n'a pas subi d'accélérations (M. Lan- 
gevin}. 

3" Avec M. Langevin, imaginons qu'un observateur ait 
une machine lui permettant de quitter la terre et d'atteindre 
une vitesse fantastique. Supposons, pour fixer les idées, que 

cette vitesse soit inférieure de seulement à la vitesse 

20000 

de la lumière. Pendant un an, le voyageur s'éloigne de la 
terre et il revient au bout de deux ans ; il n'a vieilli que 
de deux ans, car il a vécu le temps propre de son sys- 
tème , temps enregistré par ses horloges. Cependant, à son 
retour, il trouve sur la terre d'autres générations, et il 
apprend qu'il est parti depuis 200 ans. Il s est transporté dans 
l'avenir de la terre, mais sans retour possible dans le passé. 
Ces chiffres supposent que la vitesse a été atteinte très 
rapidement, ce qui serait évidemment impossible, même si 
l'homme disposait d'une énergie suffisante, car la force 
d'inertie due à l'accélération serait telle que le voyageur 

1 . Nous po5on; en principe que la vie est constituée par une succession de phé- 
nomènes physico-chimiques qui se ramènent tous à des mouvements de molécules 
et d'électrons ; ces mouvements sesuccèient dan; le temps propre du voyageur, 
temps qui, entre deux événements communs au système du voyageur et au système 
terrestre (le départ et le retour^ est. daprèi ce qui a été dit plus haut, plus court 
que le temps terrestre. 



l'univers de minkowski 59 

serait écrasé. Toutefois, cet exemple met admirablement en 
évidence la relativité du temps. 

Pour un mobile qui serait animé de la vitesse de la lu- 
mière (c'est-à-dire dont la ligne d'Univers serait de longueur 
nulle), le cours du temps serait suspendu. 

La loi d'inertie. — Nous avons déjà, au chapitre I, 
énoncé la loi d inertie de Galilée : un mobile libre est animé 
d'un mouvement rectiligne et uniforme. D'autre part, nous 
venons de voir que la ligne d'Univers la plus longue entre 
deux événements déterminés est celle qui correspond à un 
mobile allant d un événement à l'autre d'un mouvement rec- 
tiligne et uniforme. Nous pouvons donc donner à la loi de 
Galilée la forme suivante : entre deux événements concer- 
nant un mobile sur lequel n est appliquée aucune force, la 
ligne d'Univers la plus longue est précisément la ligne d Uni- 
vers de ce mobile ; ou encore, la loi d'inertie est la loi du 
temps propre maximum. 

Le mouvement rectiligne et uniforme joue, dans l'Uni- 
vers de Mmkowski, le rôle que joue la ligne droite en géo- 
métrie euclidienne, avec cette différence que la ligne d'Uni- 
vers qui se traduit à nous par ce que nous appelons I état 
de mouvement rectiligne et uniforme entre deux événe- 
ments est la ligne d'Univers la plus longue, alors qu en géo- 
métrie la ligne droite tracée entre deux points est la ligne 
la plus courte. Cependant, dans un cas comme dans l'autre, 
on peut donner un même énoncé (voir appendice, note 9} 
et la ligne du point matériel libre, dans un Univers régi 
par les formules de Lorentz, peut être qualifiée de droite 
d'Univers, car elle présente une analogie frappante avec la 
droite de la géométrie euclidienne. 



CHAPITRE VI 
DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 



A la cinématique définie par le groupe de transforma- 
tions de Lorentz, qui remplace la cinématique ancienne 
basée sur le groupe de Galilée, correspond une dynamique 
nouvelle, qui, fait remarquable, est plus cohérente et plus 
simple que la dynamique newtonienne. Nous nous borne- 
rons ICI a indiquer les résultats. Un aperçu général de la 
théorie est donné dans la note 10 de l'appendice. 

La MASSE FONCTION DE LA VITESSE. — Dans la 
dynamique ancienne, la masse newtonienne d'une portion 
de matière est une grandeur invariable (chap. l). Dans la 
dynamique nouvelle, deux observateurs en mouvement l'un 
par rapporta l'autre ne doivent pas attribuer la même masse 
a une même portion de matière. La masse d un corps est 
relative comme sa vitesse, et dans un système de référence 
déterminé, la masse augmente avec la vitesse. 

Si l'on conserve la définition de la masse (coefficient 
d'inertie) donnée au chapitre I, on trouve qu'il faut envi- 
sager deux masses : une masse longitudinale, qui intervient 
si la force agissante (et par suite l'accélération) est dirigée 
parallèlement a la vitesse acquise ; une masse transversale dans 
le cas oii la force agit normalement à la trajectoire; ces deux 
masses augmentent avec la vitesse de la portion de matière 



DYNAMIQUE DE LA RELATIVITE 01 

considérée, mais suivant des lois différentes ; elles ne sont 
égales que si la portion de matière est au repos. 

Une autre définition de la masse permet de ne conser- 
ver qu'une seule masse. Supposons qu une force F constante 
agisse pendant un temps t sur une portion déterminée de 
matière, initialement au repos ; au bout du temps t cette 
force a imprimé à la matière une vitesse v. Le produit de 
la force F par le temps / est ce qu'on appelle ïimpulsion 
communiquée k la portion de matière ; divisons cette impul- 
sion par la vitesse, nous obtenons la masse maupertui- 

sienne m — —• Le produit mv, égal k 1 impulsion F/, se 

nomme encore quantité de mouvement. 

La masse est donc définie comme coefficient de propor- 
tionnalité entre l'impulsion communiquée et la vitesse 
acquise, comme capacité d'impulsion et non plus comme 
coefficient d'inertie. Dans 1 ancienne dynamique, il y avait 
identité entre les deux définitions ; dans la dynamique de la 
relativité, la masse maupertuisienne se confond avec la 
masse newtonienne transversale, mais non avec la masse 
newtonienne longitudinale. 

Nous appellerons donc dorénavant masse ' la capacité 
d'impulsion qui est indépendante de la direction suivant 
laquelle la force agit sur la portion de matière. On démontre 
que cette masse croît avec la vitesse V suivant la loi extrê- 
mement simple 

(15) m=^', (^..=./l-^-; 

mn est une constante, la masse pour ^=1 ou f = 0, 
c est-à-dire la masse initiale ou masse au repos ; c est la 



62 LE PRINCIPE DE RELATIX'ITÉ RESTREINT 

valeur vers laquelle tend la masse quand la vitesse tend 
vers zéro. 

Supposons que la vitesse d'un corps, mesurée dans un 
système de référence déterminé, aille constamment en aug- 
mentant ; à mesure que v tend vers la vitesse c de la 
lumière, ^- tend vers zéro et m croît indéfiniment ; la masse 
de toute portion de matière serait infime si cette portion de 
matière était animée de la vitesse de la lumière. On voit 
encore de cette manière que la vitesse de la lumière est 
une vitesse limite qu'on ne saurait communiquer à aucune 
particule matérielle, car il faudrait fournir une énergie infinie. 

L'ÉNERGIE ET SES DIVERSES FORMES. — On appelle 
Iracail le produit d'une force par le déplacement de son 
point d'application dans la direction et le sens de la force, 
et énergie toute cause de production de travail ou inverse- 
ment tout résultat de la transformation d un travail. Le tra- 
vail et l'énergie ont même mesure : dans le système C. G. S. 
(centimètre, gramme, seconde), l'unité est l'erg : c'est le 
travail accompli par une force égale à une dyne (la 981' par- 
tie du poids du gramme) pour un déplacement de I centi- 
mètre dans la direction et le sens de la force. 

On distingue deux catégories d'énergie : I énergie ciné' 
tique et I énergie potentielle. 

L'énergie cinétique est l'énergie de mouvement. Un corps en 
mouvement possède, de ce fait, de l'énergie cinétique. Enméca- 
nique classique, l'énergie cinétique d'une portion de matière 
(point matériel) de masse m et de vitesse v est sa force cive 

nW, et l'énergie cinétique d'un système matériel est la 
somme * mû' des forces vives des différents points maté- 



DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 63 

riels qui composent ce système. Nous verrons bientôt que 
cette expression ancienne de l'énergie cinétique n'est valable 
que comme approximation. 

L énergie potentielle est de 1 énergie en réserve, en 
puissance. Un exemple fera comprendre : si l'on soulève 
un objet, on dépense du travail ; ce travail n'est pas perdu, 
il est transformé en énergie potentielle ; en effet si on lâche 
1 objet, celui-ci tombe ; il y a donc quelque chose qui se 
transforme en énergie cinétique qui peut elle-même pro- 
duire du travail. 

Dans la nature, l'énergie se présente sous des formes 
variées. Tout champ de force renferme de l'énergie locali- 
sée dans chaque élément de volume de l'espace. 

ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE. — Si l'on met en pré- 
sence un certain nombre de corps électrisés, ceux-ci exer- 
cent des forces les uns sur les autres ; le système possède 
de l'énergie potentielle ; on modifie cette énergie en chan- 
geant les distances des charges électriques, c'est-à-dire en 
dépensant (ou au contraire en récupérant) du travail. Ainsi 
un champ électrique, c'est-à-dire une portion d'espace où 
s exercent des forces électriques possède une énergie poten- 
tielle, et l'on démontre que cette énergie est localisée dans 
chaque élément de volume du champ. 

ÉNERGIE MAGNÉTIQUE. — De même, chaque élé- 
ment de volume d'un champ magnétique renferme de 
1 énergie, mais cette fois c'est de l'énergie cinétique, car 
tout champ magnétique est produit par des charges (élec- 
trons) en moui^emcn/ (même un aimant renferme des charges 
en mouvement), et l'on sait aujourd'hui que l'énergie ma- 
gnétique n'est autre chose que l'énergie cinétique de ces 
charges, qui est extériorisée dans l'espace environnant. 

ÉNERGIE DU CHAMP DE GRAVITATION.— Les 



64 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

corps s'attirent et un système matériel possède, de ce fait, 
une énergie potentielle. 

ÉNERGIE CHIMIQUE. — Un système de deux corps 
susceptibles de s'unir possède de l'énergie potentielle, qui 
peut être transformée en chaleur et en travail lors de la 
combinaison de ces corps. L énergie des explosifs est encore 
une forme d'énergie chimique. 

ÉNERGIE CALORIFIQUE. — Enfin la chaleur est une 
des formes de l'énergie : c'est l'énergie (cinétique) du 
mouvement des molécules qui composent la matière. 

CONSERVATION DE L'ÉNERGIE.— Un principe fon- 
damental est celui de la conservation de l'énergie. Chaque 
fois que de 1 énergie ou du travail se transforme, il y a 
production d'une énergie égale ou d un travail équivalent. 
Voici deux exemples : quand on soulève un poids, l'ac- 
croissement d'énergie potentielle (énergie de gravitation) est 
égal au travail dépensé. Quand un corps perd sa vitesse 
par suite d'un frottement, toute son énergie cinétique se 
transforme en une quantité égale d'énergie calorifique, ou 
en une quantité égale d énergie calorifique et d énergie 
électrique (due à l'électrisation par frottement). 

L'énoncé exact du principe est le suivant. L énergie 
totale d'un système matériel isolé (c'est-à-dire qui n'échange 
aucune énergie ni aucune matière avec l'extérieur) reste 
constante au cours des transformations que subit ce 
système. 

L'inertie de l'énergie. — Une des conséquences les 
plus remarquables de la théorie de la relativité est que la 
notion de masse n'est pas distincte de celle d énergie. 
On démontre en effet les résultats suivants : 

I" L'énergie cinétique acquise par une particule maté- 



DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 65 

iielle, de masse au repos mu et de masse m pour une vitesse 
i), s'obtient en multipliant la variation de masse (m — m<i) 
par le carré de la vitesse de la lumière. C'est seulement en 
première approximation (pour les vitesses faibles) que cette 

énergie est égale à — mnV' (force vive dans la mécanique 
classique). 

Z^ L'énergie rayonnante (chaleur rayonnante, lumière, 
ondes hertziennes) possède une masse. Une quantité d'éner- 
gie W a une masse égale au quotient de cette énergie par 
le carré de la vitesse de la lumière : 

_w 

m — —;' 
c 

3" Un corps qui rayonne (ou qui absorbe) de l'énergie, 
chaleur, lumière, etc., éprouve une perte (ou une augmen- 
tation) de masse égale au quotient de l'énergie rayonnée 
[ou absorbée) par le carré de la vitesse de la lumière. En 
d'autres termes, en vertu du résultat qui précède, la masse 
de l'énergie rayonnée (ou absorbée) se trouve perdue (ou 
acquise) par la matière. 

4" On sait que la matière est constituée par des cor- 
puscules électnsés auxquels on a donné le nom d électrons. 
M. Langevin a établi que l'énergie (potentielle) totale d'un 
électron au repos est égale à la masse au repos de 1 élec- 
tron, multipliée par le carré de la vitesse de la lumière. Ce 
résultat s'étend à toute la matière, si, comme on a toutes 
raisons de le penser, la matière est entièrement formée 
d électrons positifs et négatifs. 

Réunissant tous ces résultats, les conclusions suivantes 
s imposent : 

Toute variation d'énergie (potentielle ou cinétique) d'un 

5. BECQUEREL 



66 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

système (formé de matière, champs électromagnétiques, 
rayonnements, etc.) est accompagnée d'une variation de 
masse de ce système, égale au quotient de la variation 
d'énergie par le carré de la vitesse de la lumière. 

Toute forme d'énergie possède de l'inertie ; la masse de 

w 

la quantité d'énergie W est — 7- 

c" 

Toute masse m représente une énergie totale me'. 

Quelques CONSÉQUENCES de l'inertie de l'énergie 
(M. Langevin). — 1" VARIATION DE LA MASSE AVEC 
LA TEMPERATURE. — Une quantité d'eau dont la masse 
est égale à 1 gramme à la température de 0" doit avoir à 100" 
une masse plus grande. La différence (5.10 '" gramme) est 
d'ailleurs insensible. Malgré la petitesse de cet effet, 1 exemple 
fait comprendre que la notion de masse cesse de se confondre 
avec celle de quantité de matière. 

2" REACTIONS CHIMIQUES. — De la chaleur étant mise 

en jeu dans les réactions chimiques, comme cette chaleur a 

une masse, la masse du composé n est pas rigoureusement égale 

à la somme des masses des composants. Par exemple, lorsque 

2 grammes d'hydrogène s'unissent à 1 6 grammes d oxygène, 

il se dégage sous forme de chaleur une énergie égale à 

2,87. 10'' ergs. On n'obtient pas 18 grammes d'eau, mais 

2.87 . 10 ■ . o ^ ,p. ., 

— j,Z. lU gramme en moins. 

9.10" 

3" TRANSFORM.'\TIONS RADIOACTIVES. — Dans 
les transformations radioactives, l'énergie libérée est consi- 
dérablement plus grande que dans les réactions chimiques. 
Par exemple, la masse globale de l'hélium et du plomb 
engendrés par transformation complète d'une certaine 



DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 67 

quantité d uranium est certainement inférieure de plus 
de k la masse de cette quantité d'uranium. 

10000 

Prout a émis l'hypothèse que les divers atomes sont 
construits k partir d'un élément primordial, l'hydrogène. 
Cette h3-pothèse de l'unité de la matière est de plus en plus 
confirmée par les découvertes récentes : par exemple, Sir 
Rutherford a montré que le choc d'une particule j- (atome 
d'hélium lancé par un corps radioactif) contre un atome 
d'azote peut détacher de celui-ci un atome d'hydrogène. 
D'après la mécanique ancienne, la masse d'un atome quel- 
conque devrait alors être un multiple exact de celle de 
l'atome d'hydrogène, c'est-k-dire que les poids atomiques, 
calculés en prenant pour unité celui de l'hydrogène, devraient 
être des nombres entiers. C'est la loi de Prout, qui est effec- 
tivement k peu près vérifiée car les poids atomiques sont 
voisins de nombres entiers ; cependant il subsiste des 
écarts : 

Lithium 6,94, bore 1 0,90, carbone 11,91, etc. 

M. Langevin a proposé l'explication suivante : la for- 
mation des atomes (par désintégration radioactive ou par 
un processus inverse non encore observé, mais qui s'est né- 
cessairement produit dans la formation des atomes lourds) 
a été accompagnée de variations d'énergie interne par émis- 
sion ou absorption de rayonnement. La masse de l'énergie 
rayonnée ou absorbée est la cause des écarts ", et ceux-ci 

! . Il est probable que le noyau atomique de l'hydrogène est l'électron po.-ltif. 
de masse 1 700 fois plus grande que la masse de l'électron négatif. Oa a toutes rai- 
sons de penser que l'atome d'hydrogène est formé d'un électron positif et d'un élec- 
tron négatif gravitant autour du premier. 

2. II faut toutefois noter que d'autres écarts sont dus à l'existence de mélanges de 
corps iiolopci, ayant mêmes propriété; chimiques mais des poids atomiques diffé- 
rents. Tel est le cas, par exemple, pour le chlore (35,5) qui est un mélange de 
dàux corps de poids atomiques 35 et 37. 



68 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

sont tels que les énergies mises en jeu seraient du même 
ordre de grandeur que celles observées au cours des trans- 
formations radioactives. 

La matière réservoir d'énergie. — Soient m„ la 
masse au repos d'un corps, m sa masse pour les observa- 
teurs relativement auxquels il possède la vitesse v ; 1 énergie 
totale du corps, pour ces observateurs, est : 



(16) \V = mc' 



moc 



V 



c 



. , 1 ,. , 3 

2 8 



v' 



Le second terme et les suivants (en nombre mfini), qui 
contiennent les puissances supérieures de v, représentent 
l'énergie cinétique due à la vitesse v (relativement aux 
observateurs considérés). Cette énergie croît indéfiniment 
lorsque la vitesse V tend vers la vitesse de la lumière. Pour 
les faibles vitesses elle se réduit pratiquement au second terme 

muiy (expression ancienne de la force vive). 

Le premier terme m.^c' est l'énergie que renferme la 
matière au repos: c est la somme des énergies cinétiques et 
potentielles des particules électrisées (électrons) qui, en 
dernière analyse, composent la matière. Cette énergie est 
fantastique ! un seul gramme de matière, quelle que soit la 
nature de celle-ci, correspond à la présence d une énergie 
interne égale à 9.10" ergs, énergie qui permettrait de 
soulever trente millions de tonnes au sommet de la tour 
Eiffel 



DYNAMIQUE DE LA RELATIVITE 69 

Presque toute cette énergie interne appartient aux 
noyaux atomiques, qui sont des mondes insensibles à la 
plupart des actions que nous pouvons produire . Une très 
faible partie de l'énergie des noyaux est libérée spontané- 
ment dans les transformations radioactives. Une portion 
d énergie beaucoup plus petite encore, provenant, non plus 
des noyaux des atomes, mais des électrons qui gravitent 
autour de ces noyaux est dégagée dans le rayonnement 
(chaleur rayonnante, lumière, rayons X) ou mise en jeu 
dans les réactions chimiques. 

LE PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE LA 
MASSE SE CONFOND AVEC LE PRINCIPE DE LA 
CONSERVATION DE L'ÉNERGIE. — Dans un système 
isolé, les diverses parties échangent de l'énergie entre elles; 
les masses individuelles des corps ne se conservent donc 
pas ; seule la masse de l'ensemble reste invariable. Le prin- 
cipe de la conservation de la masse n'est pas distinct du 
principe de la conservation de l'énergie, puisque la masse 
de toute substance mesure son énergie totale. 

Unification des principes de conservation de 

LA MASSE, DE l'ÉNERGIE ET DE LA QUANTITÉ DE 
MOUVEMENT. — CONSERVATION DE l'iMPULSION 
d'univers. — Dans la mécanique classique, en plus des 
deux principes de conservation de la masse et de 1 éner- 
gie, qui apparaissaient comme distincts, mais qui deviennent 
identiques dans la dynamique nouvelle, il existe un troisième 
principe : celui de la conservation Je la quantité Je mou- 
vement d'un système isolé. 

Nous avons vu que la quantité de mouvement d'une par- 
ticule de matière est le produit mv de la masse de cette 

1 . Sauf cependant aux rayons « (expériences récentes de Sir RutherfordJ. 



70 



LE PRINCIPE DE RELATIVITE RESTREINT 



particule par sa vitesse. C'est une quantité orientée comme 
la vitesse, un vecteur. Tout vecteur peut être représenté 
géométriquement par une portion de droite OM (fig. 1 1) 

ayant la direction 
Z et le sens du vec- 

teur, et dont la 
longueur OM est 
proportionnelle à 
la grandeur du vec- 
teur. On peut pro- 
jeter le vecteur en 
OA, OB, OC sur 
les directions des 
axes de coordon- 
nées ; l'ensemble 
des trois vecteurs 
OA. OB. OC, 
qui sont les com- 
posantes du vecteur OM. est entièrement équivalent à ce 
vecteur OM. C'est ainsi qu'on décompose les déplacements 
rectilignes en géométrie, les vitesses en cinématique, les 
forces et les quantités de mouvement en dynamique. Par la 
construction inverse, on peut composer en un vecteur 
unique OM trois vecteurs OA. OB, OC de même nature 
dirigés parallèlement aux axes de coordonnées. 

Considérons un système de points matériels ; projetons 
sur les axes de coordonnées les quantités de mouvement de 
tous les points, puis ajoutons toutes les composantes suivant 
O.v, toutes les composantes suivant O^, toutes les compo- 
santes suivant Oz, nous obtenons trois grandeurs G*. Gy, 
G^. qui sont les composantes d'un vecteur: la quantité de 
mouvement du système matériel. Nous avons ainsi composé 




DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 71 

en un vecteur unique l'ensemble des vecteurs quantités de 
mouvement de tous les pomts matériels du système. 

Le principe de la conservation de la quantité de mouve- 
ment affirme que dans un sj^stème de points matériels isolé 
qui évolue, la quantité de mouvement de l'ensemble reste la 
même, c'est-à-dire que les projections G^:, G^, G; restent 
constantes dans un même système d'axes de coordonnées. 

Lorsque, dans un même système de référence, on change 
d'axes de coordonnées, les composantes d un vecteur quel- 
conque prennent de nouvelles valeurs; il est évident que 
les composantes d'un vecteur se transforment suivant la 
même loi qu'une distance orientée (déplacement rectiligne) 
puisqu'un vecteur se représente géométriquement par une 
portion de droite dirigée. Réciproquement, trois grandeurs 
physiquement de même nature (homogènes) qui, dans un 
changement d'axes de coordonnées, se transforment comme 
les composantes d'un déplacement rectiligne, constituent les 
trois composantes d'un vecteur d espace. 

Nous allons généraliser ces notions et les étendre à 
l'Espace-Temps. Au lieu d'une distance, considérons un 
intervalle d'Univers s 

^^ — (xi — xd' — (y-2 — yd' — (z2 — zd'-hcK{: — ld' 

X\, 71, zi, il ; -V:!, y>, z>, l: étant les coordonnées d espace 
et de temps des deux événements origine et extrémité de 
l'intervalle s. 

De même que la distance de deux points A et B est 
orientée dans l'espace, de même 1 intervalle qui sépare deux 
événements est orienté dans 1 espace-temps. 

xz — Xi, y^ — y\, zi — z\ sont, comme en géométrie, les 
composantes, suivant les axes de coordonnées, de la dis- 



72 LE PRINCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

tance spatiale des deux événements ; quant à c{ti — tij, 
nous pouvons dire que c'est la composante de l'intervalle 
suivant le temps. 

Par conséquent x^ — xi, yi — ^i, z-i — z\, cyti — tx) 
sont les composantes d'espace et de temps de la portion de 
droite d'Univers qui sépare les deux événements. Une por- 
tion de droite d'Univers, ou ce qui est la même chose un 
déplacement rectiligne effectué d'un mouvement uniforme 
est un vecteur d'Univers à quatre dimensions, un quadri- 
vecteur. 

Par extension des propriétés des vecteurs de l'espace, 
lorsque quatre grandeurs physiquement de même nature se 
transforment, dans un changement du système de référence, 
comme les composantes d'une portion de droite d'Univers, 
c'est-à-dire (dans le cas de la relativité restreinte et avec la 
disposition d'axes adoptée) conformément aux formules de 
Lorentz, ces grandeurs constituent les composantes d'un 
quadrivecteur. 

Un fait remarquable est que les trois composantes 
d'espace de la quantité de mouvement d'une portion de 
matière et sa masse multipliée par la vitesse de la lumière 
(c'est-à-dire son énergie totale divisée par la vitesse de la 
lumière) sont quatre grandeurs jouissant de la propriété pré- 
cédente. Ce sont les composantes d un quadrivecteur, 1 im- 
pulsion d'Univers. 

Ce vecteur d'Univers a ainsi pour composantes d'espace 
les trois quantités de mouvement suivant les directions des 
trois axes de coordonnées, et pour composante de temps 
l'énergie (divisée par c) qui n'est pas orientée dans l'espace 
mais qui est orientée suivant le temps. 

La quantité de mouvement et l'énergie (ou la masse) 
d'un système matériel apparaissent donc comme des gran- 



DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ 73 

deurs inséparables, et les trois principes de la mécanique 
ancienne se réduisent maintenant à un principe unique : la 
conservation de l'impulsion d'Univers. 

Alors que la quantité de mouvement et l'énergie, consi- 
aérées séparément, ne se conservent que dans un même 
système de référence et changent d'un système de référence 
à I autre, l'impulsion d'Univers a un sens absolu, indépen- 
dant du système de référence. On voit que seul l'ensemble 
des principes de la dynamique est absolu. 

Loin de compliquer les lois de la nature, le principe de 
relativité, par sa puissance de simplification, conduit à une 
synthèse sur la beauté de laquelle il serait superflu d'in- 
sister. 



CHAPITRE VII 
VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES 



Les vitesses des électrons. — La théorie de la 
relativité affirme que la vitesse de la lumière ne peut pas 
être dépassée. Cette affirmation est la base même de la 
théorie, car c'est elle qui entraîne la négation du temps 
absolu. 

Les vitesses les plus rapides que nous connaissions sont 
celles des particules ,'■' (électrons) émises par les corps ra- 
dioactifs. Danysz a montré que ces particules présentent 
toute une série de vitesses et il est remarquable que ces 
vitesses convergent vers la vitesse de la lumière, allant jus- 
qu'à 297000 kil. sec. sans pouvoir atteindre 300000 
kil./sec. 

Vérification de la loi d'accroissement de la 
MASSE AVEC LA VITESSE. — Les expériences de 
NL Kaufmann et de M. Bucherer sur les rayons h des 
corps radioactifs et surtout les mesures très précises de 
MM. Ch.-Eug. Guye et Lavanchy sur les rayons catho- 
diques (formés d'électrons animés de grandes vitesses) ont 
prouvé que la masse de l'électron augmente avec sa vitesse, 

conformément à la loi prévue m ^^ 7^"^^^^^^^ ' Dans ces 



V'~i 



VÉRIFICATIONS EXPÉRIMENTALES 75 

dernières expériences la loi est vérifiée jusqu à des vitesses 
allant jusqu'à la moitié de la vitesse de la lumière, 

La structure des raies spectrales. — L'expé- 
rience prouve que les raies du spectre de l'hydrogène ne 
sont pas simples ; chacune d elles est en réalité constituée 
par une série de composantes extrêmement rapprochées, 
dont deux sont particulièrement intenses. 

Un modèle d'atome, proposé par M. Bohr (un seul 
électron négatif tournant autour d'un électron positif dans 
le cas de l'hydrogène) rend compte du spectre de l'hydro- 
gène, mais l'application de la dynamique classique conduit 
à prévoir seulement des raies simples. 

M. Sommerfeld a établi que la dynamique de la relati- 
vité rend compte exactement, qualitativement et quantitative- 
ment, de la structure complexe des raies de l'hydrogène 
ainsi que de la structure des spectres de rayons X. On 
peut considérer comme établi que la mécanique nouvelle 
est seule applicable aux mouvements intra-atomiques. C'est 
là une des plus intéressantes vérifications du principe de 
relativité. 

La signification de l'expérience de Michelson. 
— On présente souvent l'expérience de Michelson comme 
la base du principe de relativité et beaucoup de personnes 
objectent qu'il est scabreux de bâtir une pareille théorie 
sur une expérience dont le résultat a été négatif. 

Il est essentiel de faire remarquer que ce n'est pas sur 
l'expérience de Michelson qu'il faut fonder la théorie de 
la relativité. Cette théorie est basée sur les formules de 
Lorentz, cest-à-dire sur les lois de l'électromagnétisme car 
les formules de Lorentz sont implicitement contenues dans 



76 LE PRLNCIPE DE RELATIVITÉ RESTREINT 

les équations de Maxwell : c'est le fait que ces lois ont 
été vérifiées par des expériences d une extraordinaire préci- 
sion et doivent être conservées quand on change de système 
de référence qui est la base inébranlable de toute la théo- 
rie. L'expérience de Michelson a joué un rôle considé- 
rable, parce qu'elle a d'abord appelé l'attention sur la dis- 
cordance entre l'expérience et les prévisions déduites des 
lois de la mécanique ; on a ensuite reconnu les causes pro- 
fondes de ce désaccord. Si maintenant on donne à l'expé- 
rience de Michelson son véritable sens, on constate qu'elle 
vient simplement se joindre aux autres vérifications expéri- 
mentales. 

La relativité généralisée et la loi de la gravitation d'Ein- 
stein nous apporteront des vérifications plus remarquables 
encore que celles qui viennent d'être indiquées. 



DEUXIÈME PARTIE 

LE PRINCIPE 

DE RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉ 

ET LA GRAVITATION 

CHAPITRE VIII 

LE CHAMP DE GRAVITATION 

ET L'UNIVERS RÉEL 

Les systèmes GALILÉENS. — Une conception fonda- 
mentale est à la base de la théorie de la relativité res- 
treinte : celle du mouvement rectiligne et uniforme. 

Mais tout état de mouvement étant relatif, comment 
attribuer un sens absolu à 1 état de mouvement rectiligne 
et uniforme? On imagine bien un mobile en translation 
uniforme dans un système de référence considéré, par con- 
vention, comme immobile ; on conçoit que deux systèmes 
de référence soient en mouvement rectiligne et uniforme 
l'un par rapport à l'autre. Existe-t-il un critérium qui per- 
mette de décider si un système envisagé isolément est ou 
non en translation uniforme.^ 

On voit qu'il est nécessaire de préciser les conditions de 
validité des principes et des lois précédemment exposés. 
Voici comment on doit résoudre la question. Nous sup- 
posons qu'on puisse trouver un système dans lequel la loi 
d'inertie de Galilée (chap. l) soit vérifiée : dans ce sys- 
tème, défini par un corps de référence, une particule maté- 
rielle est au repos ou se déplace d'un mouvement de, trans- 



78 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

lation uniforme par rapport au corps de référence (ou par 
rapport a. des axes liés à ce corps) si l'on ne fait agir 
aucune force sur elle. Dans un tel système, appelé système 
galiléen, on peut adopter les coordonnées habituelles d'es- 
pace et de temps (trois axes rectangulaires pour repérer les 
positions et un phénomène périodique servant d'horloge 
pour mesurer le temps} et ces coordonnées sont dites coor- 
données galiléennes. 

S'il existe un système galiléen, il en existe une infinité 
d'autres : ce sont tous ceux qui sont animés par rapport au 
premier (et les uns par rapport aux autresj d'un mouve- 
ment de translation uniforme, sans rotation. 

Ce que nous avons appelé système en translation uni- 
forme, ou encore système non accéléré est ce que nous appe- 
lons maintenant système galiléen. La théorie de la relativité 
restreinte n'envisage que des systèmes galiléens : elle affirme 
que dans tout système galiléen la lumière se propage avec 
la même vitesse dans toutes les directions (propagation iso- 
trope), que cette vitesse est une constante universelle, que 
dans chaque système on peut faire une mesure optique du 
temps (chap. lll), queles lois de l'électromagnétisme (équa- 
tions de Maxwell) sont rigoureuses, que les formules de 
transformation des coordonnées galiléennes sont celles de 
Lorentz, que les lois des phénomènes physiques restent les 
mêmes quand on change de système galiléen. 

Un espace-temps qui jouit de la propriété de contenir 
dans toute son étendue une infinité de systèmes galiléens 
est un Univers de Minkowski (chap. v). Nous dirons qu'il 
est euclidien " à cause de 1 analogie entre la ligne d Uni- 
vers qui correspond au mouvement rectiligne et uniforme 
et la ligne droite dans l'espace de la géométrie euclidienne 
(p. 59) et parce que, comme l'espace de la géométrie, il 



CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 79 

est homogène, c'est-à-dire jouit des mêmes propriétés dans 
toute son étendue. Comme l'espace de la géométrie, cet 
Univers est infini. 

Une question capitale se pose maintenant: l'Univers réel 
est-il euclidien? L'existence de la gravitation, que nous 
avons totalement négligée jusqu à présent, ne vient-elle pas 
détruire l'homogénéité, qui est caractéristique de l'Univers 
de Mmkowski ? 

La pesanteur de l'énergie. — Chacun sait qu'aux 
environs de toute matière règne un champ de gravitation, 
c'est-à-dire qu en tout point de l'espace s'exerce une force, 
la pesanteur, qui agit sur toute portion de matière. On 
appelle intensité du champ de gravitation " ou intensité 
de la pesanteur en un point la force qui s'exerce en ce 
point sur une masse matérielle égale à l'unité de masse ; 
cette intensité dépend des masses environnantes (les corps 
sont plus légers sur la lune que sur la terre). D'après la 
vieille loi de Newton, deux particules matérielles de masses 
m et m s'attireraient proportionnellement à leurs masses et 
en raison inverse du carré de leur distance r, de sorte que 
la force F aurait pour expression 

P P m.m 

r' 

G étant une constante, la constante de la gravitation (égale 
à 6,7. 10 ) dans le système centimètre-gramme-seconde 
(C. G. S.). 

En un point situé à la distance r d'une particule unique 
de masse m, l'intensité de la pesanteur due à cette parti- 



cule (force agissant sur la masse m — I) serait 



G 



m 



80 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

La gravitation, qui agit sur toute portion de matière, 
agit-elle aussi sur 1 énergie ? la pesanteur est-elle, comme 
l'inertie, une propriété de 1 énergie ? lorsque la masse inerte 
d'un corps change avec son énergie interne, en est-il de 
même de sa masse pesante ? 

L expérience répond par 1 affirmative. Supposons qu une 
perte d'énergie, et par suite de masse, par rayonnement, 
ne s'accompagne d aucune variation de poids. Il en résul- 
terait qu'une certaine quantité d'uranium et l'ensemble des 
produits de sa transformation, hélium et plomb, auraient 
des poids égaux mais des masses différentes. Or les expé- 
riences de M. Eotvôs ont démontré (avec une précision 
qui atteint le vingt-millionième) qu'en tout lieu il y a pro- 
portionnalité entre la masse et le poids : la direction de la 
verticale, qui est celle de la résultante du poids et de la ' 
force centrifuge proportionnelle à la masse (force d'inertie 
due à la rotation de la terre), est en effet la même pour 
tous les corps. 

Nous sommes amenés a conclure que 1 énergie rayon- 
nante, en particulier la lumière, doit être pesante puisqu elle 
a une masse. Par suite un rayon lumineux doit s'incurver 
dans un champ de gravitation. 

L'ÉQUIVALENCE ENTRE UN CHAMf^ DE GRAVITATION 
ET UN CHAMP DE FORCE DU À UN ÉTAT DE MOUVE- 
MENT ACCÉLÉRÉ. — Les résultats qui précèdent entraî- 
nent de graves conséquences. 

Pour un observateur lié à la terre, un mobile lancé rt 
abandonné à lui-même n'obéit pas à la loi galiléenne d iner- 
tie, puisqu'il est dévié par la pesanteur ; nous voyons qu il 
en est de même pour la lumière, ce qui implique que la 
vitesse de la lumière ne reste pas rigoureusement constante 



CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 81 

sur tout le parcours d'un rayon lumineux, contrairement au 
principe fondamental de la constance de cette vitesse. 

La même conclusion s'applique partout ou règne un 
champ de gravitation, c'est-à-dire dans l'Univers tout entier; 
d aucun système naturel on ne peut voir — du moins sur 
une grande étendue — un mobile abandonné à lui-même 
ou même un rayon lumineux se propager suivant un mou- 
vement rectiiigne et uniforme ; aucun mouvement n est con- 
forme à la loi d'inertie de Galilée. 

Mais, pensera le lecteur, ce n'est pas étonnant : la loi 
de Galilée s'applique, dans un système galiléen, au mobile 
sur lequel n'est appliquée aucune force ; or dans un champ 
de gravitation une force attractive s'exerce sur le mobile. 

Nous allons, avec Einstein, être conduits à une toute 
autre interprétation : si la loi d'inertie de Galilée n est pas 
satisfaite, ce n'est pas parce qu'un mobile subit une force 
attractive s'il y a un champ de gravitation, c'est parce qu on 
ne peut pas trouver un système galiléen. Nous allons mon- 
trer, en effet, que la force de gravitation ne doit pas être 
considérée comme une force appliquée à un corps : c est 
une force d'inertie absolument de même nature que celle 
qui apparaît dans un système accéléré, c'est-à-dire dans 
un système non galiléen (voir fin du chap. l) ; il en résultera 
que dans une région où règne un champ de gravitation 
il n'existe pas de système de référence qui soit galiléen 
dans toute l'étendue du champ. 

Nous allons analyser des notions qui nous paraissent évi- 
dentes parce que nous y sommes habitués, et c est précisé- 
ment parce que nous y sommes trop habitués que personne, 
avant M. Einstein, n'avait eu l'idée de les approfondir. 

1" LA GRAVITATION EST UNE ACTION DE 
PROCHE EN PROCHE. — A la question " pourquoi un 

6. BECQUEREL 



82 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

objet soulevé puis abandonné a. lui-même tombe-t-il ? ", 
chacun est tenté de répondre : ' parce qu'il est attiré par 
la terre ". La physique moderne doit formuler autrement 
la réponse. 

Le développement, dans le domaine de l'électromagné- 
tisme, de la théorie des actions de proche en proche non 
instantanées a conduit à la théorie de Maxwell, vérifiée par 
l'expérience, et au principe de relativité restreint (voir 
chap. iv). Une conception semblable doit être admise 
pour la gravitation : 1 attraction de la terre sur I objet qui 
tombe est un effet indirect ; la propriété d'agir sur une 
masse matérielle ou sur un rayon lumineux appartient, en 
réalité, au champ de gravitation, c'est-à-dire à l'Espace- 
Temps qui se trouve modifié au voisinage de la matière ; ce 
n est pas une action à distance, directe et instantanée, pro- 
duite par un corps attirant. 

T ÉGALITÉ DE LA MASSE PESANTE ET DE LA 
MASSE INERTE. — Le champ de gravitation possède une 
propriété extrêmement remarquable qui n'appartient pas 
aux champs électrique et magnétique. Alors que dans un 
même champ électrique des charges différentes prennent des 
accélérations différentes, dans un champ de gravitation 
l'accélération acquise par un corps ne dépend m de l'état 
physique, ni même de la nature du corps. Tous les corps, 
qu'ils soient lourds ou légers, tombent avec la même vitesse 
si les conditions initiales sont les mêmes. L accélération est 
indépendante de la force qui s'exerce sur le corps (indé- 
pendante de son poids). 

Ce fait, SI familier, est extraordinaire. 

Pour les faibles vitesses, on a la loi du mouvement de 
Newton 

force = masse inerte X accélération 



CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 83 

c'est-à-dire que la masse inerte (masse au repos) est une 
constante propre au corps accéléré. 
Si la force est le poids, on a 

force = masse pesante X intensité du champ. 

La masse pesante étant également une caractéristique 
du corps. 
On a donc : 

Vw • masse pesante^, . • -■ i i 

accélération — ] < intensité du champ. 

masse inerte 

Puisque l'expérience prouve que, dans un même champ 

de gravitation, l'accélération est indépendante du corps, le 

masse pesante , 

rapport ', est une constante pour tous les 

masse inerte 

corps et si l'on choisit les unités de façon que ce rapport 

soit égal à 1 , la masse pesante est égale à la masse 

inerte. 

Il y a longtemps que la mécanique a enregistré ce ré- 
sultat, mais personne ne l'avait interprété. L'interprétation 
est celle-ci : la même qualité de la matière se manifeste, 
selon les circonstances, soit comme inertie, soit comme pe- 
santeur: en termes plus précis : LA FORCE DE GRAVI. 
TATION EST UNE FORCE D'INERTIE. 

Avec M. Einstein, imaginons une portion d'espace vide, 
SI loin des étoiles et de toute matière qu'il n'y ait plus de 
champ de gravitation et que nous soyons dans le cas idéal 
oïl la loi galiléenne d'inertie est applicable. Il est alors pos- 
sible, dans cette portion d'Univers, de choisir un système 
galiléen. Dans ce système supposons une chambre isolée à 
l'intérieur de laquelle se trouve un observateur ; pour cet 



84 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

homme i! n'y a pas de pesanteur, pis de direction privi- 
légiée. 

Supposons maintenant que, par un câble fixé à un cro- 
chet au miheu de la toiture de la chambre, un être exté- 
rieur se mette à tirer avec une force constante. Pour un 
observateur immobile dans le système galiléen, la chambre 
va prendre un mouvement uniformément accéléré et sa 
vitesse croîtra d'une façon fantastique. Mais toute autre 
sera l'opinion de l'homme enfermé dans la chambre; l'accé- 
lération va projeter cet homme sur le plancher, pour lui il 
y aura un haut " et un bas " comme dans une chambre 
sur la terre ; il constatera que tous les objets tombent avec 
une même accélération ; sa première impression sera qu'il 
se trouve dans un champ de gravitation. 

A la réflexion, il se demandera pourquoi il ne tombe 
pas en chute libre, ce qui ferait disparaître la pesanteur. 
Cherchant ce qui se passe, il découvrira le crochet et le 
câble tendu ; cette fois tout sera clair pour lui, il se dira : 
ma chambre est suspendue, au repos, dans un champ de 
gravitation. 

Cet homme est-ildans l'erreur.^ nullement : il a parfai- 
tement le droit de considérer sa chambre comme immo- 
bile, bien qu'elle soit accélérée relativement à l'espace gali- 
léen. On voit que la possibilité de cette interprétation 
repose sur la propriété fondamentale d un champ de gra- 
vitation, de donner à tous les corps la même accélération, 
c'est-à-dire sur 1 égalité de la masse pesante et de la masse 
inerte. 

3" LE BOULET DE JULES VERNE. — Au lieu d'ima- 
giner que la chambre de l'observateur est loin de toute 
matière, supposons-la, au contraire, en chute libre (sans 
rotation) dans le champ de gravitation d'un astre. La 



CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 85 

pesanteur y sera supprimée puisque tous les objets seront 
soumis k la même accélération que la chambre en tombant 
avec elle. Pour l'observateur de la chambre, il n'y aura plus 
ni haut ni bas, et un mobile libre sera au repos ou animé 
d'un mouvement rectiligne et uniforme ; ce mobile se con- 
formera k la loi de Galilée ; un système de référence hé k 
la chambre sera donc un système galiléen (bien que pour 
un observateur situé sur l'astre sur lequel tombe la chambre 
ce système soit accéléré) et l'homme de la chambre con- 
sidérera l'Univers comme euclidien dans son voisinage. 

4" LE PRINCIPE D'ÉQUIVALENCE. — Ainsi, d'une 
part l emploi d un système de référence en mouvement 
accéléré dans un Univers euclidien équivaut k créer un 
certain champ de gravitation dans lequel ce système 
pourra être considéré comme immobile ; d'autre part, 
l'emploi d'un système de référence lié k un corps en chute 
libre dans un champ de gravitation revient k supprimer ce 
champ. En tout point d'espace il est donc impossible de se 
prononcer entre les deux hypothèses suivantes: P il existe 
un état de mouvement accéléré sans champ de gravitation ; 
► 2" le système est au repos mais il y règne un champ de 
gravitation s'exerçant sur toute portion d'énergie. 

En un mot il est impossible de distinguer un champ de 
force d'inertie dû k un état de mouvement et un champ 
de gravitation. Il y a équivalence, selon l'expression 
d'Einstem, qui appelle champ de gravitation tout champ 
de force, que ce champ soit dû k un état de mouvement du 
système de référence ou au voisinage de masses matérielles. 

L'univers réel n'est pas euclidien. — Pour un 
observateur en chute libre, dans un boulet de Jules Verne, 
le champ de gravitation n'est supprimé que localement. 



86. RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

C est seulement dans une région peu étendue (théorique- 
ment infiniment petite) que l'Univers est euclidien pour 
cet observateur. Le champ de gravitation subsiste à dis- 
tance, parce que l'intensité de la pesanteur n'est constante 
ni en grandeur ni en direction ; en supprimant le champ 
en un point, on l'accentue ailleurs : par exemple, relative- 
ment à un observateur qui tomberait en chute libre sur la 
Terre, le champ de la pesanteur serait doublé dans la 
région symétrique par rapport au centre de la Terre. 

Dans la nature, aucun champ de gravitation n'est 
uniforme ; aucun système de référence ne peut annuler un 
champ de gravitation dans toute son étendue. Il est impos- 
sible de trouver un système de référence dans lequel la 
lumière ait une propagation rigoureusement isotrope, dans 
lequel la loi d'inertie de Galilée puisse être rigoureusement 
appliquée. En un mot le système galiléen est théorique- 
ment imaginable, et l'esprit le conçoit aisément parce que 
c est le système le plus simple — de même que la géomé- 
trie euclidienne est la plus intuitive — mais ce n'est qu'une 
fiction et YUnivers réel, envisagé dans son ensemble, n'est 
pas euclidien. 

La généralisation du principe de relativité. 
— Puisque nos postulats fondamentaux ne sont pas 
rigoureusement vrais dans l'Univers réel, faut-il donc consi- 
dérer le principe de relativité comme une abstraction en 
dehors des réalités.^ Doit-on renoncer à cette admirable 
synthèse et considérer l'invariance des lois de la nature 
comme une simple approximation.^ Faut-il penser que cette 
invariance ne serait exacte qu'à la limite, dans un Univers 
euclidien et en n'envisageant que des systèmes de réfé- 
rence galiléens ? 



CHAMP DE GRAVITATION ET UNIVERS RÉEL 87 

Doit-on, au contraire, étendre le principe de relativité 
au cas de l'Univers réel et de système de référence absolu- 
ment arbitraires ? 

M. Einstein n'a pas hésité. Il a érigé en principe l'affir- 
mation suivante : 

Tous les systèmes de référence sont équivalents pour 
formuler les lois de la nature : ces lois sont covariantes " 
vis-à-vis de transformations de coordonnées arbitraires. 

Cette généralisation s'impose. En effet toutes les lois de 
notre science sont basées sur la constatation de coïncidences 
absolues dans l'Univers. Dans le langage de la relativité, ces 
coïncidences sont des intersections de lignes d Univers, abso- 
lues et par suite indépendantes de tout système de coor- 
données. Il est donc certain que les lois de la nature 
doivent pouvoir s'exprimer sous une forme intrinsèque, une 
forme qui reste la même quel que soit le système de réfé- 
rence, quelles que soient les coordonnées choisies pour 
repérer les événements. 

Il fallait néanmoins une certaine audace pour généraliser 
ainsi le principe de relativité, car les observations les plus 
familières semblent contredire cette généralisation. Par 
exemple : dans un véhicule, un voyageur a été jeté à terre 
par suite d'un coup de frein trop brusque ; il paraît diffi- 
cile de persuader à ce voyageur que les lois des phéno- 
mènes sont les mêmes dans un système de translation 
uniforme et dans un système accéléré. Voici l'explication : 
dans tout système de référence règne un champ de force, 
un champ de gravitation (au sens généralisé d'Einstein) ; 
les grandeurs caractéristiques de ce champ interviennent 
dans l'expression des lois ; c'est lui qui se manifeste par les 

I Cela signifie que si ces lois sont données dans un sy.uème de référence, elles 
sont données en même temps dans tout autre système, quel qu'il soit. 



88 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

effets mécaniques de l'accélération. Dans le cas idéal du 
système galiléen, ce champ est nul: c'est précisément 
l'annulation du champ de force qui se traduit par la loi 
d'inertie de Galilée et qui caractérise le système galiléen ; 
les lois générales doivent alors prendre, dans ce cas parti- 
culier, une forme simplifiée, disons plus exactement une 
forme dégénérée. Par exemple, les équations de Maxwell 
sont la forme dégénérée d'équations générales (auxquelles 
M. Einstein a pu remonter) où intervient le champ de 
gravitation : fait remarquable, les lois de 1 électromagné- 
tisme sous leur forme la plus générale sont d'une extrême 
simplicité ; elles apparaissent à l'esprit comme plus claires 
que les lois de Maxwell (appendice, note \4). C'est sous 
la forme dégénérée que ces lois ont été établies expéri- 
mentalement, parce que sur la terre le champ de gravita- 
tion (pesanteur et force centrifuge) est trop faible pour que 
son influence sur les phénomènes électromagnétiques ait 
pu être constatée. Les lois de Maxwell et les formules de 
Lorentz (qui sont la conséquence de ces lois) doivent être 
rigoureuses dans un Univers euclidien, et si l'on prend des 
coordonnées galiléennes : on voit par là que la théorie de 
la relativité restreinte reste intacte, mais elle correspond à 
un cas idéal : celui où le champ de gravitation serait nul. 

En résumé les équations qui expriment les lois physiques 
doivent pouvoir être écrites de manière à conserver la même 
forme dans un champ de gravitation quelconque c'est-à-dire 
quand on change d'une manière arbitraire le système de 
référence. 

Cette condition de covariance limite considérablement 
les formes possibles pour les lois de la nature. 



CHAPITRE IX 
LES COORDONNÉES DE GAUSS 



Le temps et les longueurs dans un champ de 
GRAVITATION. — Dans un Univers de Minkowski, ima- 
ginons un système galiléen S, puis prenons un second 
système S formé par un disque plan dont le mouvement, 
par rapport à S, est une rotation autour d'un axe normal 
au plan du disque, passant par le centre de ce disque, et 
fixe dans le système S. Un observateur situé excentrique- 
ment sur le disque éprouve 1 effet d'une force agissant 
radialement vers l'extérieur ; cette force est interprétée par un 
observateur immobile par rapport au système S comme un 
effet d'inertie (force centrifuge), mais l'observateur entraîné 
avec S peut considérer son disque comme immobile et 
attribuer la force à un certain champ de gravitation. Ce 
champ possède d'ailleurs une structure fort différente de 
celle du champ qui s'exerce au voisinage d'une masse atti- 
rante, mais en vertu du principe d'équivalence nous l'appe- 
lons quand même champ de gravitation ou, si l'on veut, 
champ de gravitation géométrique. 

Supposons que 1 observateur de S prenne deux hor- 
loges identiques marquant toujours la même heure tant 
qu'on les laisse au même point; il place l'une au centre du 
disque et l'autre à une distance r du centre ; ces horloges 
ne vont pas rester synchrones. Examinons-les, en effet, du 



90 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

système galiléen S, de façon à appliquer les résultats de la 
relativité restreinte ; celle qui est au centre est immobile, 
l'autre est en mouvement : le temps propre de cette der- 
nière est donc plus court que le temps du système galiléen, 
qui est le temps au centre. Si, au bout de quelque temps, 
on ramène au centre du disque l'horloge qui a séjourné à 
la distance r, on constate qu'elle retarde sur celle du 
centre. Comme à chaque distance au centre correspond un 
temps propre, il n'y a aucune synchronisation possible pour 
les horloges du système S ; on ne peut pas définir un 
temps valable pour le disque tout entier, c est-à-dire mesu- 
rable par des horloges immobiles par rapport à ce disque. 

La même difficulté se présente pour les coordonnées 
d'espace. Imaginons qu'en appliquant sur la périphérie du 
disque une règle très courte prise pour unité de longueur, 
on marque deux points A, B et que le rayon soit mesuré 
avec la même règle unité. Pour un observateur placé au 
centre du disque (immobile et par conséquent appartenant 
au système galiléen) le rayon du disque n'est pas changé 
par la rotation, mais la longueur AB qui est parallèle à la 
vitesse est plus courte que si le disque ne tournait pas 
(contraction des longueurs) ; l'observateur est donc conduit 
à considérer la circonférence, qui contient un nombre déter- 
miné de fois la longueur AB, comme plus courte, et il trouve 
que le rapport de la circonférence au diamètre est inférieur 
au nombre ~. La géométrie de ce disque n est plus 
euclidienne. 

Cet exemple fait comprendre que, d'une façon générale, 
dans un champ de gravitation géométrique (dû à un état 
de mouvement accéléré) on ne peut plue définir les coor- 
données habituelles d'espace et de temps. En vertu du 
principe d'équivalence il en est de même dans un champ 



LES COORDONNÉES DE GAL'SS 91 

de gravitation permanent (dû au voisinage de matière) 
cest-à-dire dans un univers non euclidien. Dans un univers 
non euclidien, il n'y a plus de coordonnées galiléennes, car 
la possibilité de choisir de telles coordonnées est caracté- 
ristique d'un univers euclidien. 

En présence de cette difficulté, M. Einstein a résolu la 
question par une admirable extension de la théorie des 
surfaces de Gauss. 

Les SURFACES et les coordonnées de Gauss. — 
Tout au début du chapitre I nous avons, pour définir ce 
qu'on entend par système de coordonnées, envisagé une 
surface plane. Supposons maintenant une surface courbe 
qui ne soit pas développable sur un plan, par exemple la 
surface de la terre que pour simplifier nous supposerons 
rigoureusement sphérique ; si l'on s'interdit d'aller d'un 
point à l'autre de la surface en quittant celle-ci, c'est-à-dire 
SI l'on ne considère que les points situés sur la surface 
même, celle-ci constitue, comme le plan, une multiplicité à 
deux dimensions — deux coordonnées, la longitude et la 
latitude définissent la position d'un lieu sur la terre — mais 
la géométrie de cette surface n'est plus la géométrie d'Eu- 
clide : il n'y a plus de lignes droites sur la sphère, et la 
plus courte distance d'un point à un autre est un arc de 
grand cercle ; on ne peut plus se servir de coordonnées 
cartésiennes rectangulaires. 

On voit que pour repérer les événements dans l'Univers 
réel, non euclidien, où il n'y a plus de coordonnées rigou- 
reusement galiléennes, nous nous trouvons, avec quatre 
dimensions au lieu de deux, dans la même situation que le 
géomètre qui veut repérer les points sur une surface courbe 
sans sortir de cette surface. 



92 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAX'ITATION 



Gauss a montré qu'il est possible d'énoncer les lois de 
la géométrie d'une surface courbe quelconque (sphère, ellip- 
soïde, etc.) sous une forme indépendante du système ae 
coordonnées. On comprend qu'en ajoutant deux dimen- 
sions on pourra, par une généralisation de cette théorie, 
énoncer les lois de l'Univers non euclidien à quatre dimen- 
sions. 

Gauss est parti de l'idée qu'il doit être possible, par des 
opérations de géodésie sur la surface, de mettre en évi- 
dence la courbure de celle-ci en faisant simplement des 
opérations locales d arpentage, par les procédés habituels 
de la géométrie euclidienne du plan. En effet, en tout 
point d'une surface, il existe un plan tangent et dans une 
étendue limitée la surface peut être confondue avec son plan 
tangent : ceci est d autant plus exact que l'étendue envi- 
sagée auteur du point est plus petite, et devient rigoureux 
à la limite, pour une étendue infiniment petite. 

Traçons sur la surface une famille de courbes arbi- 
traires xi (fîg. 1 2) ; désignons chacune de ces courbes par un 

chiffre et figurons 
les courbes .vi = I , 
A 1 = 2... entre deux 
de ces courbes, on 
peut imaginer une 
infinité de courbes 
représentant tous les 
nombres compris 
entre les deux nom- 
bres entiers qui dé- 
signent les deux 

Fie 12. * , . , 

courbes envisagées. 
Ces courbes sont seulement assujetties à la condition de ne 







LES COORDONNEES DE GAUSS 



93 



pas se couper, de façon qu il ne passe qu'une des courbes 
xi par chaque point ; de la sorte, à chaque point de la 
surface correspond une coordonnée xi bien déterminée. 

Traçons de même une seconde famille de courl)es xi^ 
les courbes X2 coupant les courbes xi. Chaque point delà 
surface est maintenant entièrement défini par les valeurs 
de ses deux coordonnées xi et xi. 

Deux points P et P infiniment voisins ont pour coor- 
données respectives Ai et xi, xi~î-Jxi, x>~hJxi. Les 
coordonnées de Gauss reviennent, en somme, à un numéro- 
tage, à la coordination de deux nombres, faite de manière 
que deux points infiniment voisins soient représentés par 
des nombres infiniment peu diffé- 
rents. 

Dans une étendue infiniment 
petite autour d un point P, nous 
confondons la surface avec son 
plan tangent et les courbes avec 
les lignes droites qui leur sont 
tangentes (fig. 1 3) ; nous sommes 
ainsi ramenés, en chaque point, 
à un système de coordonnées rec- 
tilignes mais obliques ; une formule 
bien connue de la géométrie eucli- 
dienne donne la distance dl du 
point de coordonnées xi, xi au point infiniment voisin de 
coordonnées aiH~c/a:u x^-hdxi 

dl' = gi\dx~\ + g\ïdx\dxi -h gndxidxi + gndx'i 

ou (17) dl' = gi[dx\ -f- Igiidxidxi + g-iidxi 




13. 



parce que gn — gu. 



94 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

Si l'on s est donné les courbes xi et les courbes xi, on 
peut, en chaque point P, de coordonnées ri et X2, mesurer 
avec une règle les distances (-/) (-/) (-/) qui séparent 
le point P de trois points extrêmement voi- 
^' sins de lui P , P , P (fig. 14) et corres- 

pondant à des valeurs connues des différences 
p (^ P de coordonnées (-xi) , {^x>) , etc.. ; toutes 

\ ces grandeurs étant extrêmement petites 

^ nous pouvons pratiquement les considérer 

Fig. r4. comme infiniment petites, c est-à-dire écrire 

(^/) = (c//) , etc.. et appliquer, pour les 
trois distances, la formule (17). Nous avons donc trois 
équations permettant de calculerait, ga, gn qui sont ainsi 
obtenus par des mesures ordinaires d'arpentage. 

Conformément à la géométrie euclidienne ordinaire, 
les g sont bien déterminés en chaque point ; ils sont indé- 
pendants des points P , P , P choisis pour les mesures 
d'arpentage. Mais, d un point P à un autre, les g sont 
variables ; ce sont des fonctions des coordonnées xi et xi 
(c'est-à-dire des grandeurs qui dépendent des valeurs de 
x\ et xi). C'est seulement dans le cas d'une surface eucli- 
dienne qu'on peut trouver des lignes ai et x: telles qu on ait 

(18) dr-=dxi-hdxi 

c'est-à-dire g\i = gi-: = 1 , ^12 = 

en tout point. C'est ainsi que dans le plan, on peut prendre 
pour Xi et Xi des droites rectangulaires, c est-à-dire em- 
ployer des coordonnées cartésiennes rectangulaires [chap. l, 
équation (l)|. L équation (18) est caractéristique d'une 
surface euclidienne. 

Dans le cas général, les g étant en chaque point des 
fonctions de xi et .r.>, l'arpentage permet de calculer les 



LES COORDONNÉES DE GAUSS 95 

g et de déterminer comment ils varient en fonction des 
coordonnées. Gauss a montré que la géométrie d une sur- 
face est entièrement déterminée quand on connaît ces 
fonctions et que les lois de cette géométrie s'expriment 
d'une façon indépendante des coordonnées. 

Il est évident que la distance dl de deux points déterminés, 
infiniment voisins l'un de l'autre, est un invariant, c est-à-dire 
a une valeur indépendante du système de coordonnées, 
puisque cette distance peut être assimilée à un, élément de 
ligne droite dans le plan tangent. Considérons maintenant 
deux points Pi et P2 et une ligne courbe quelconque tracée 
sur la surface entre ces points : la longueur de 1 arc de courbe 
entre Pi et P- est (comme nous l'avons dit p. 54) l'intégrale 

/ dl; l'arc de courbe élémentaire dl, assimilé en chaque 

J Pi 

point de la courbe à un élément de droite dans le plan 
tangent en ce point, est donné par la formule (17); il a 
une valeur indépendante des coordonnées choisies : I inté- 
grale, c'est-k-dire la longueur de l'arc de courbe est, par 
suite, un invariant pour toute transformation de coordonnées. 
Sur toute surface, il existe des lignes de plus courte 
distance qu'on nomme les géodésiques (sur le plan ce sont 
les droites, sur la surface d'une sphère ce sont les grands 
cercles, etc.). Si l'on exprime mathématiquement qu'une 
ligne jouit de la propriété d'être la plus courte entre deux 

quelconques de ses points, c'est-à-dire que l'intégrale j dl 

(où maintenant l'en ne spécifie plus les deux points Pi et 
Pj) est minimum, on obtient une équation qui est l'équation 
générale des géodésiques. Dans un changement du sys- 
tème de coordonnées, l'équation des géodésiques reste la 
même, à condition, bien entendu, que les g aient les nou- 



96 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

velles valeurs g correspondant aux nouvelles coordonnées 
xi et jcj. Les propriétés des géodésiques sont exprimées 
sous une forme mdépendante du système de coordonnées; 
11 devait bien en être amsi car la propriété de longueur 
minimum qui les caractérise est absolue ; elle est évidem- 
ment Indépendante du fait qu'il plaît au géomètre d'adop- 
ter telle ou telle décomposition de la surface en mailles à 
deux dimensions. 

On peut aller plus loin et caractériser l'individualité de 
la surface en chaque point ; il existe, en effet, un élément 
qui s'exprime au moyen des g et de ce qu on nomme en 
mathématiques leurs dérivés premières et secondes. Cet 
clément est invariant, c'est-à-dire a une valeur numérique 
Indépendante du système de référence employé ; c est la 
courbure totale 

(19) R 



RiR> 



Ri et Ri étant deux rayons de courbure qu'on appelle 
les rayons de courbure principaux. 

Pour un plan, Ri et Ri> sont Infinis et la courbure totale 
est nulle en tout point. Pour un cylindre, l'un des deux 
rayons de courbure est Infini (à cause des génératrices rec- 
tillgnes) et l'on a encore R = 0. 

SI l'on suppose R constant et négatif on a les lois de la 
géométrie de Lobatchefski. 

SI R est constant et positif, on a la géométrie de Rle- 
mann, applicable à la surface d'une sphère. 

Extension de la théorie de Gauss. — Dans 
rUnlvers réel, nous ne pouvons plus employer des coor- 
données gallléennes ; puisque nous ne pouvons plus défi- 



LES COORDONNEES DE GAUSS 



97 



nir les coordonnées habituelles d'espace et de temps, de 
même qu en géométrie des surfaces courbes, il n y a plus 
de coordonnées cartésiennes rectangulaires. 

En géométrie, on décompose une surface courbe en 
mailles bidimensionnelles, avec des coordonnées Ai, xi 
arbitraires. De même l'Univers peut être décomposé en 
cellules quadridimensionnelles, avec quatre coordonnées 
arbitraires ai, x-, x-,, .v;. Dans le cas général, il n'y a plus 
ni longueurs ni temps ; xi, x-, x., a. sont quatre coor- 
données d'Univers '. La méthode est calquée sur celle de 
Gauss, avec deux dimensions de plus. Au lieu de deux 
familles de courbes Ai et .vj, on a quatre familles 
d' ' espaces " (non euclidiens) tridimensionnels A1A2A-; 
A1A2A., XiX:',x;, X2X.X,; en chaque point d'Univers, ou évé- 
nement, se coupent quatre espaces. 

Il ne faudrait pas croire qu'une pareille coordination 
n ait pas de sens, les coordonnées ne signifiant plus rien au 
point de vue des longueurs et du temps. Nous avons en 
effet msisté sur le fait, qui est la base même de la généra- 
lisation du principe de relativité, que les réalités physiques 
correspondent aux rencontres de lignes d'Univers de por- 
tions de matière ou d'énergie. Ces rencontres s'expriment 
par des valeurs communes des coordonnées, quel que soit 
le choix de ses coordonnées ; tous les systèmes sont donc 
également bons pour exprimer les lois de la nature, et la 
description de l'Univers peut se faire en coordonnées arbi- 
traires, tout comme la géométrie des surfaces ; peu importe 
que ces coordonnées ne soient ni des longueurs ni des 
temps. Le principe de relativité généralisé peut maintenant 
s'énoncer : Tous les systèmes de Gauss (généralisés) sont 
équivalents pour formuler les lois Je la nature. 

Tient-on cependant à conserver les notions d'espace et 

7. BECQUEREL. 



98 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRA\'ITATlON 

de temps ? on peut le faire et 1 on devra le faire dans toutes 
les applications ph3Siques. Dans un système galiléen, on 
pourrait prendre un corps de référence invariable (inva- 
riable dans un même système) par rapport auquel on repé- 
rerait les longueurs, et des horloges synchrones pour mesu- 
rer le temps ; dans un champ de gravitation, où il n'y a 
plus de corps invariable ni d'horloges synchrones, on envi- 
sagera comme corps de référence des corps non rigides 
auxquels seront liées des horloges de marche arbitraire 
(assujetties seulement à la condition que les indications 
observables d'horloges infiniment voisines diffèrent infiniment 
peu), ou si l'on veut un système formé d'un réseau arbi- 
traire à trois dimensions, avec des horloges aux nœuds du 
réseau pour donner l'heure dans chaque cellule. De pareils 
systèmes de référence, qui non seulement sont en mouve- 
ment arbitraire mais changent de forme arbitrairement dans 
le champ de gravitation sont les mollusques " d'Einstein. 
Le mollusque est un système de Gauss généralisé, mais 
on conserve les notions d'espace et de temps, chaque point 
du mollusque étant considéré comme point d'espace, 
chaque point matériel par rapport à lui étant considéré 
comme au repos, tant que ce mollusque sert de système de 
référence. 

La généralisation de la théorie de Gauss peut se résu- 
mer dans le tableau suivant : 



LES COORDONNEES DE GAUSS 



99 



SURFACE COLRBE, NON EUCLIDIENNE 

Deux dimension?. Décomposition en 
mailles bidimensionnelles arbitraires. 



Dans une étendue infiniment petite 
autour de chaque point, la surface peut 
être remplacée par son plan tangent. 



Dans le plan tangent, la géométrie 
euclidienne du plan est applicable, par 
suite : 

La distance éléiientaire dl de deux 
points infiniment voisins ne dépend pas 
du système de coordonnées (est un 
invariant). 

Cette distanc3 s'exprime par la 
formule : 

dl- = gi\dx\ -^ giidx\dxi 

"^ giidiX, -^ giidxl 

avec gi, — gti 

de sorte que les quatre g se réduisent à 
trois. 

La géométrie euclidienne est caracté- 
risée par le fait qu'on peut trouver des 
systèmes de coordonnées dans lesquels 
les g ont les valeurs constantes 



gll — gii 



,, = 



en tout pomt. 

(coordonnées cartésiennes rectangu- 
laires). 



II existe des lignes de plus courte dis- 
tance (telles que Jdl soit minimum) 
appelées géodcsiques. 

La courbure totale s'exprime en 
fonction des g et de leurs dérivées pre- 
mières et secondes; cette courbure est 
un invariant 



UNIVERS NON EUCLIDIEN 

Quatre dimensions. Décomposition en 
cellules quadridimensionnelles arbi- 
traires. 

Dans un domaine quadridimensionnel 
infiniment petit autour de chaque point- 
événement, 1 Univers peut être remplacé 
par son Univers euclidien tangent, qui 
est un Univers de Minkowski. 

Cet Univers tangent est (dans une 
étendue suffisamment petite) l'Univers 
de tout observateur en chute libre, rap- 
portant les événements à un système de 
référence qui lui est lié. 

Dans l'Univers euclidien tangent, la 
relativité restreinte est applicable, par 
suite : 

L'intervalle élémentaire ds entre deux 
événements infiniment voisins ne dépend 
pas du système de coordonnées (est un 
invariant). 

Cet intervalle s'exprime par la 
formule : 

ds- = gwdx'î -+- giidx,dx2 
— g\?,dx\dx:i -^ . 

avec g.^., = g.,.^ 



gndxl 



de sorte que les seize g se réduisent à dix. 



La relativité restreinte (Univers eucli- 
dien) est caractérisée par le fait qu'on 
peut trouver des systèmes de coordonnées 
dans lesquels les g ont les valeurs 
constantes 



^11 — g2i — g:::: — — 1. 
g.i.; — 0, si/^0 (;^'- 

en tout événement. 

(coordonnées galiléennes). 



^ii — I 
1,2,3,4) 



Il existe des lignes d'Univers de plus 
grande longueur (telles Que fds soit 
maximum) appelées géodésiqucs. 

Il existe un invariant qui s'exprime en 
fonction des g et de leurs dérivées pre- 
mières et secondes. On l'appelle courbure 
totale d Univers en chaque point- 
événement. 



100 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

Une différence se remarque entre les propriétés géomé- 
triques d'une surface et celles de l'Univers. Dans le cas d'une 
surface, dl~, qui est le carré d'une longueur, est une quantité 
toujours positive ; dans le cas de l'Univers, ds' peut être posi- 
tif ou négatif ; si ds' est positif, 1 intervalle ds représente un 
temps multiplié par c ; si ds' est négatif, 1 intervalle représente 
une longueur dans l'espace. Sur une surface euclidienne 
dl' est la somme de deux carrés {di ^== dxi' -'r dxi') ; dans 
l'Univers euclidien de Mmkowski, ds' s'exprime au moyen 
de quatre carrés {ds' == — dx\' — c/.vj" — dx.' -{- dx,' avec 
dx ,^=^ cdt) mais les carrés des trois composantes d'espace 
sont précédés du signe — , alors que le carré de la compo- 
sante de temps a le signe H- : cette différence de signe est, 
suivant l'expression de M. Eddington, le secret des dif- 
férences que présentent les manifestations de l'espace et du 
temps dans la Nature ". 

Lorsque ds représente l'arc de courbe élémentaire (c'est- 
à-dire infiniment petit) d'une ligne d'Univers, ds' est tou- 
jours positif (deux événements infiniment voisins sur une 
ligne d'Univers forment un couple dans le temps; voir 
p. 51) et ds est le temps propre élémentaire multiplié 
par c ; ce n'est pas une distance spatiale. La propriété de 
maximum des géodésiques d'Univers (au lieu de mmimum 
comme en géométrie) est la conséquence de ce fait. 

Malgré cette différence l'analogie de propriétés, d'une 
part entre le plan et l'Univers de Minkowski, d'autre part 
entre une surface courbe et l'Univers réel, est telle que nous 
avons le droit de dire que l'Univers de Mmkowski est eucli- 
dien et que l'Univers réel est courbe. 



CHAPITRE X 
LA LOI DE LA GRAVITATION (EINSTEIN) 



Nature de la gravitation. — Les grandeurs o.,., 
(y-, ■-' = 1 , 2, 3, 4) qui interviennent dans l'expression du 
carré de l'intervalle élémentaire et qui, dans le cas général, 
sont variables d'un point d'Univers à un autre, sont les gran- 
deurs caractéristiques du champ de gravitation (au sens 
généralisé d'Einstein). Ce sont ces dix potentiels de gravi- 
tation qui doivent figurer dans l'expression des lois phy- 
siques pour conserver à celles-ci leur forme, quel que soit 
le système de référence. 

Dans le cas particulier d'un Univers euclidien, et si de 
plus les coordonnées sont galiléennes. les g,,, ont en tout 
point-événement les valeurs constantes : 

g\ i = gn = g-v:^ = 1 , gvv = 1 , 

g.. = SI [J- est différent de v. 

et le champ de gravitation disparaît ; c'est le cas étudié 
en relativité restreinte. Les formules de transformation des 
coordonnées galiléennes — de celles-là seulement — sont les 
formules de Lorentz. 

Un champ de gravitation, au sens généralisé, comporte 
un certain arbitraire puisqu'on peut le modifier à volonté 
par le choix des coordonnées, dont les gx- dépendent. Néan- 
moins il y a une chose indépendante de tout choix de 
coordonnées : c'est la structure gccmétrique de l'Univers ; 



102 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

à cette structure correspond un champ de gravitation per- 
manent, connexe de la présence ou du voisinage de la ma- 
tière, auquel se superpose un champ de gravitation géomé- 
trique introduit par le choix du sj'stème de référence. 

Puisque, dans le voisinage de masses matérielles, tous 
les corps prennent la même accélération malgré leurs poids 
différents, // faut porter son attention, non pas sur la pré- 
tendue force attractive ' qui est variable avec le corps, 
mais sur F état de mouvement, c'est-à-dire sur la ligne 
d'Univers qui, étant la même pour tous les corps placés 
dans les mêmes conditions initiales, doit être une caracté- 
ristique de l'Univers lui-même. 

C'est bien une caractéristique de l'Univers car il est facile 
de démontrer que c'est une géodésique (voir tableau p. 99). 
Dans un Univers euclidien, et en coordonnées galiléennes, 
le mouvement d'un mobile abandonné à lui-même serait 
rectiligne et uniforme, la ligne d'Univers serait une droite 
d'Univers, ligne qui jouit de la propriété de longueur maxi- 
mum (p. 57); toujours dans un Univers euclidien, rem- 
plaçons les coordonnées galiléennes par des coordonnées 
arbitraires, c'est-à-dire introduisons un champ de gravitation 
géométrique quelconque; il est bien évident, puisque l'élé- 
ment de ligne ds a une longueur indépendante du système 
de coordonnées, que la propriété de longueur maximum est 
conservée. Alors, le principe d'équivalence (p. 85) nous 
permet d'affirmer qu'il en est de même dans un champ de 
gravitation permanent, c'est-à-dire que dans l'Univers réel, 
non euclidien, la ligne d'Univers d un mobile abandonné à 
lui-même est encore la ligne de longueur maximum, c'est-à- 
dire celle des géodésiques qui est déterminée par les condi- 
tions initiales du mouvement; c'est là l'énoncé le plus géné- 
ral de la loi d'inertie. 



LA LOI DE LA GRAVITATIION (eINSTEIn) 103 

On voit bien maintenant qu il serait faux de dire : la 
force de gravitation est une force attractive ; un corps 
abandonné à lui-même n'a pas un mouvement conforme à 
la loi d inertie par ce qu'il subit une force appliquée. Cette 
ancienne conception est inexacte car un corps abandonné 
à lui-même est un mobile libre et se meut toujours suivant 
la loi d'inertie, mais cette loi n est plus celle de Galilée 
puisque dans un champ de gravitation permanent, c'est-à- 
diie dans l'Univers non euclidien, il n'y a plus de système 
galiléen, plus de droites d'Univers. 

La structure géométrique de l'Univers est liée à la pré- 
sence de la matière et plus généralement de l'énergie. La 
courbure imposée par cette structure aux géodésiques, lignes 
d Univers des mobiles libres, se traduit dans nos observa- 
tions par un état de mouvement accéléré; le champ de gra- 
vitation est un champ de force d'inertie, mais cette force 
nous a donné l illusion d'une force attractive appliquée, 
parce que, en fait, elle possède à nos yeux une telle appa- 
rence et que la loi de Newton, qui exprime cette préten- 
due force attractive, s'est trouvée être une excellente 
approximation dans la pratique. 

Les tenseurs. — Dans la théorie de la gravitation, 
l'intervalle élémentaire dont le carré (voir tableau, p. 99), 
qui est une grandeur indépendante du système de coor- 
données yxi, x>, X:'., X'j, s'exprime par 

<Js" = giidx'i -\- giidxidxo ~+~ . . . ~f- gwdxl 

joue un rôle fondamental. 

On est conduit, de plus, a envisager des êtres mathé- 
matiques appelés tenseurs (appendice, note 1 1 ). Un ten- 
seur est un ensemble de grandeurs de même nature msé- 



104 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

parables les unes des autres qui sont dites * composantes 
du tenseur ". Le calcul différentiel absolu ", créé par 
Riemann et ChristofFeî, développé par MM. Ricci et 
Levi-Civita (antérieurement a. la théorie de la relativité) 
donne les règles (voir appendice) qui permettent de définir 
les tenseurs et de calculer les composantes d'un tenseur dans 
un nouveau système de coordonnées lorsqu'on connaît ces 
composantes pour un premier système et que, bien entendu, 
la transformation de coordonnées qui relie les deux systèmes 
est donnée. 

La propriété fondamentale des tenseurs est la suivante : 
quand toutes les composantes d'un tenseur sont nulles (ou 
sont respectivement égales aux composantes d'un autre 
tenseur) dans un système de coordonnées, elles sont encore 
toutes nulles (ou égales aux composantes de l'autre tenseur) 
dans tout autre système de coordonnées, arbitrairement 
choisi. C'est là une propriété qui donne une individualité 
propre à un ensemble de grandeurs possédant le caractère 
tensoriel. 

Par suite, une loi formulée par V annulation d'un ten- 
seur (annulation de toutes ses composantes) ou formulée 
par l'égalité de deux tenseurs est indépendante de tout sys- 
tème de coordonnées. 

Le principe de relativité exige que toutes les lois puissent 
être mises sous la forme tensorielle. II en résulte immédia- 
tement que la vieille loi de la gravitation, la loi de Newton, 
ne peut pas être rigoureuse, car on ne peut pas la mettre 
sous la forme requise. 

La loi de la gravitation. — La structure d'Uni- 
vers, en présence d'une distribution donnée de matière, est 
absolue, car elle ne saurait être changée par le fait qu'il 



LA LOI DE LA GRAVITATION (eINSTEIn) 105 

plaît au mathématicien d'adopter tel ou tel système de 
coordonnées. 

Par suite, lorsque les potentiels de gravitation gy, chan- 
gent avec le choix (arbitraire) du système de coordonnées, 
les valeurs de ces potentiels doivent rester compatibles avec 
une même structure d'Univers. C'est dire que les g y., sont 
nécessairement assujettis à certaines liaisons. 

Les équations les plus générales exprimant les liaisons 
qui doivent exister entre les dix potentiels de gravitation 
pour que ceux-ci, dans un changement arbitraire de coor- 
données, se modifient en restant compatibles avec une 
même structure d'Univers (quelle que soit d'ailleurs celle-ci) 
doivent être, comme toutes les lois physiques, des relations 
tensorielles. 

Ces relations constituent la loi de la gravitation. 

Pour résoudre ce problème, M. Einstein n'a eu que les 
données suivantes : 

I " A distance infinie de toute matière (ou de tout rayon- 
nement) l'Espace-Temps doit être euclidien. 

2" La loi de conservation de 1 impulsion et de 1 énergie 
sous sa forme (tensorielle) la plus générale doit être 
satisfaite. 

II est remarquable que ces conditions aient suffi pour dé- 
terminer la loi. 

LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE. — 
Le tenseur fondamental de l'espace-temps est forme par 
les g,.r, il a pour composantes les seize g,,., 



tenseur g 



gii gri 

g-2i gii 

'■■' / gM g:Vl 

g;i g:- 



g-r: gi 
g,-.'. g: 



106 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

mais ce tenseur est symétrique (^21 =grj, gi^^^^gn, etc.) 
de sorte qu'il nV a que dix composantes pouvant prendre 
des valeurs différentes. 

A partir de ce tenseur fondamental, on forme un autre 
tenseur, appelé tenseur de Riemann-Chri.stojfeL dont les 
composantes ont une expression très compliquée (voir 
note 11); nous désignerons ce tenseur par la notation abrégée 
Rx.^; les lettres X-, ^ ", ,' mises en indices désignent lun 
quelconque des indices 1, 2, 3, 4; ces mêmes indices X-, "', 
', ,- figurent aussi parmi les indices des g et parmi ceux des 
coordonnées qui interviennent dans 1 expression développée 
de RjivT, Nous ne pouvons guère expliquer en langage ordi- 
naire pourquoi p est écrit en haut alors que les trois autres 
indices sont écrits en bas ; disons seulement qu'il existe deux 
lois de transformation des composantes tensorielles lorsqu on 
change de coordonnées: la loi de contrevariance et la loi de 
covarlance ; quand un indice est de caractère contrevariant, 
on l'écrit en haut, quand il est de caractère covariant on 
l'écrit en bas. 

Comme dans le cas du tenseur gj.., mais avec deux 
indices de plus, pour chaque valeur 1, 2, 3, 4 des indices 
on a une composante du tenseur, de sorte qu en donnant 
successivement à toutes les lettres X-, "', -, p chacune des 
valeurs 1 , 2, 3, 4 et faisant toutes les combinaisons pos- 
sibles, on obtient 256 composantes- 

On démontre que l'annulation de ce tenseur, c est-à-dire 
l'annulation de toutes ses composantes est la condition 
nécessaire et suffisante pour que l espace-temps soit 
euclidien. 

(20) Rl, = 0. 

Les 256 équations représentées symboliquement par 



i LA LOI DE LA GRAVITATION (eINSTEIn) 107 

cette formule se réduisent d'ailleurs à 20 équations 
distinctes. 

Ce n'est pas la loi cherchée puisque l'Espace-Temps n'est 
pas euclidien dans son ensemble, mais la loi Ry.v7 = 
convient dans une région de l'espace située à l'infini de toute 
masse ; il faut donc chercher une relation tensorielle plus 
générale, comportant la précédente comme cas particulier, 
c est-à-dire qui se trouve satisfaite lorsque R;/,7 = 0. 

Partant du tenseur R;iv7, à quatre indices (du quatrième 
ordre), on peut construire un tenseur du second ordre, c'est- 
à-dire à deux indices (seize composantes) en imposant la 
condition que les indices ^ et p soient toujours les mêmes 
(opération qu'on nomme contraction) ; ce nouveau tenseur, 
que nous désignerons par R.., est le tenseur de Riemann- 
Christoffel contracté ; à 1 aide de ce tenseur contracté, on 
peut enfin former un tenseur d'ordre nul (une seule compo- 
sante) : or tout tenseur d'ordre nul est un invariant. L'in- 
variant en question, R, se trouve être une généralisation de 
la courbure de Gauss (p. 96), on peut donc l'appeler cour- 
bure totale d'Univers. 

La loi R = 0, c est-à-dire I annulation de la courbure 
totale en tout point-événement ne saurait convenir non plus, 
car c'est une loi trop générale, insuffisante pour déterminer 
un champ de gravitation. 

On n'a donc pas le choix, car pour que R>.v-t = soit une 
solution particulière, il n y a qu une loi générale possible, 
l'annulation du tenseur contracté 

(21) R. = 0. 

C'est la loi générale de la gravitation dans le vide 
(appendice, note 1 2). 

Le tenseur R xv, étant symétrique (R, =■ R.J n'a que 



108 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

dix composantes distinctes ; 1 annulation des composantes 
donne donc dix équations. Mais on constate que six seulement 
de ces équations sont indépendantes; c était à prévoir parre 
que dix équations indépendantes détermineraient les dix 
^x. dans l'expression du carré de l'intervalle ds', et par 
conséquent spécifieraient non seulement la structure de 
l'Espace-Temps mais encore le système de coordonnées. Or 
ce système doit rester arbitraire ; il est quatre fois indéterminé 
puisqu'il y a quatre coordonnées ; il faut donc qu'il y ait entre 
les g'x. quatre relations qui soient des identités (appendice, 
note 12). 

En définitive la loi de la gravitation dans le vide comporte 
six conditions. C'est une restriction considérable imposée 
aux géométries de l'Univers. 

LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATIÈRE. — 
Les équations résumées par Rx. = décrivent les propriétés 
les plus générales de la structure géométrique de l'Univers 
aux points oii il n'y a ni matière ni énergie électromagnétique, 
c'est-à-dire dans ce que nous appelons le vide. Il reste à 
résoudre un problème fondamental : la matière subit 1 action 
d'un champ de gravitation mais nous savons qu elle est aussi 
la source d'un champ de gravitation ; c'est ce qu'il s'agit 
d'exprimer. En d'autres termes, il s agit de déterminer la 
loi qui doit remplacer la loi d'attraction proportionnelle 
à la masse et inversement proportionnelle au carré de 
la distance, la vieille loi de Newton que Poisson a 
traduite analytiquement par une équation locale, c est-à-dirc 
par une équation valable en chaque point d'espace: dans 
cette équation intervient la densité de la matière au point 
considéré. 

La densité en un point est le rapport de la masse contenu*^* 
dans un volume d'espace infiniment petit, à ce volume lui- 



I LA LOI DE LA GRAVITATION (eINSTEIn) 1 09 

même : c'est la masse par unité de volume. Or la masse, 
c'est I énergie divisée par la constante c", et nous avons vu 
(p. Il) que l'énergie est inséparable de la quantité de mou- 
vement. Mais l'énergie et la quantité de mouvement ne 
suffiserrt pas, dans le cas général, pour constituer un tenseur: 
il faut y joinc^e des grandeurs qui expriment les courants de 
matière, en d'autres termes, les courants de quantité de 
de mouvement. On forme ainsi un tenseur, le tenseur maté- 
riel ou tenseur impulsion-énergie que nous désignerons par 
r, , (seize composantes) dont dix seu'ement sont distinctes 
car il est symétrique. C'est ce tenseur qui doit remplacer la 
densité qui figurait seule dans l'ancienne théorie: signalons 
d'ailleurs que la composante T,. de ce tenseur est, dans tous 
les cas où la matière est animée de vitesses faibles par rapport 
à la vitesse de la lumière, considérablement plus grande que 
les autres composantes, et serait précisément égale à la densité 
de la matière, si l'on pouvait employer des coordonnées 
rigoureusement galiléennes. 

On démontre (voir une démonstration intuitive dans 
l'appendice, note 12) que, pour que la loi générale de con- 
servation de l'impulsion-énergie et que la loi de la gravita- 
tion dans le vide R ,.. = soient satisfaites, il doit y avoir, 
à un facteur constant près, égalité entre le tenseur T,, et 

le tenseur R;,., g;"R (R est l'invariant dont il a été 

question plus haut, la courbure totale de l'espace-temps). 
On doit donc avoir en tout point 

(22) R,. — ' g,.R = — y-T.., 

2 

■/■ étant une constante universelle. 



110 RELATI\'1TÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 
Cette loi peut encore se mettre sous la forme suivante 
(23) R,.= -/.(T.-^g;,.T) 

T étant un invariant qu'on construit à partir de T., et 
qu'on trouve égal à y-Pc, p« étant la densité au repos de la 
matière au point considéré, c'est-à-dire la denfité qui serait 
mesurée par un observateur immobile par rapport à la 
matière . 

Dans le vide T .., et T sont nuls, puisqu il n y a pas de 
matière et l'on retrouve bien la loi dans le vide Ri. == 0. 

LOI DE NEWTON. — Si, dans les dix équations repré- 
sentées par {22) ou (23), obtenues en donnant aux indices y- 
et "' les valeurs 1 , 2, 3, 4 (les seize équations se réduisent à dix 
parce que les tenseurs sont symétriques: R,, = Rva et 
Ta- = T .0 on néglige les quantités qui pratiquement sont très 
petites, on trouve, en première approximation mais non comme 
loi exacte, la loi de Newton, et la constante "/- se trouve déter- 
minée en fonction de la constante connue G qui intervient dans 
l'expression de l'ancienne loi. 

LA DYNAMIQUE. — Nous avons dit que, dans le vide, les 
dix équations Ry - =^ se réduisent à six conditions, à cause de 
quatre identités qui correspondent à la quadruple indéter- 
mination des coordonnées. 

En tout point oii il y a de la matière présente, les quatre 
mêmes identités sont encore vérifiées, car elles résultent de 
la définition mathématique du tenseur R;^,. Comme, d'autre 
part, la loi de la gravitation exprimée par {22) ou (23) 
traduit une relation entre R^- et T l., les quatre identités se 
transforment en quatre équations ' entre les grandeurs qui 

1 . La densité varie avec la vitesse, puisque la ma^se et le volume dépendent de 
la vitesse. 

2. Les équations sont des relations entre des grandeurs inconnues et des gran- 



LA LOI DE LA GRAVITATION (eINSTEIn) 1 1 1 

forment le tenseur impulsion-énergie. Le degré d indéter- 
mmation des coordonnées, c'est-à-dire le nombre de dimen- 
sions de l'Univers impose donc à la matière un nombre 
égal de conditions qui doivent être nécessairement remplies. 
Il se trouve que ces quatre conditions constituent la loi 
fondamentale de conservation de la quantité de mouvement 
et de l'énergie (voir appendice, note 1 2). 

Si l'on demandait la loi d'Emstein est-elle bien d ac- 
cord avec les lois de la mécanique " il faudrait répondre : 
c est elle qui résume la dynamique tout entière. Cette loi 
contient, sous sa forme la plus générale, la loi de conser- 
vation de la quantité de mouvement, de l'énergie et de la 
masse ; on démontre (voir note 1 2) qu'elle contient la loi 
du mouvement du mobile libre (la ligne d'Univers du mobile 
libre est une géodésique) : c'est la loi de l'inertie car gra- 
vitation et inertie sont une seule et même chose. Elle contient 
toute la dynamique du point matériel. 

deurs connues ; ce sont des conditions impoîees aux grandeurs inconnue^, ces 
conditions, si elle» sont suffisantes, déterminent les inconnues. Dans une identité, 
le5 deux mambres expriment une seule et même choje et peuvent se ramener à 
une même expression ; autrement dit les termes d'une idontité se détruisent deux 
à deux. 



CHAPITRE XI 

APPLICATIONS ET VÉRIFICATIONS 
DE LA LOI D'EINSTEIN 



Le champ de gr.witatiox d'un centre matériel. 
— La loi d'Einstein a permis de déterminer l'expression de 
l'intervalle élémentaire J.s qui sépare deux événements infi- 
niment voisins dans le champ de gravitation produit par un 
centre matériel, c'est-à-dire l'expression de 1 élément de temps 

propre ( t/' = — )■ Cette expression (note 13) a été donnée 

c 

en fonction de coordonnées aussi voisines que possible 
de coordonnées polaires euclidiennes (voir p. 12), et qu'on 
peut assimiler pratiquement à des coordonnées euclidiennes, 
tant que la déformation (par rapport à un espace-temps 
euclidien) de l'Univers est faible ; elle s'applique dans un 
système de référence lié au centre source du champ de 
gravitation . 

Dans un champ non statique, c'est-à-dire si l'on suppose 
que le centre matériel est en mouvement dans le système 
de référence employé, on trouve que les petites déforma- 
tions de l'Espace-Temps, c'est-à-dire les effets de gravitalion, 
se propagent avec la vitesse Je la lumière. Voilà résolu un 
problème qui avait pendant bien longtemps préoccupé les 
physiciens et les astronomes. 

1 . Voir dans l'appendice (note I 3) une remarque sur une objection récemment 
faite par M. Painlevé. 



APPLICATIONS DE LA LOI d'eINSTEIN 113 

LE MOUVEMENT DES PLANÈTES. — PREMIÈRE 
VÉRIFICATION: LE MOUVEMENT DE MERCURE. — Si 
ion détermine les géodésiques de l'Espace-Temps ayant 
l'élément d'arc calculé amsi qu'il a été dit plus haut, on 
obtient le mouvement des mobiles libres dans le champ de 
gravitation d'un centre. Au lieu d'une ellipse fixe pour la 
trajectoire des planètes (mouvement conforme à la loi de 
New^ton) on trouve une ellipse qui tourne lentement dans 
son plan (appendice, note 1 3). Le calcul numérique montre 
que pour les planètes autres que Mercure, 1 écart entre les 
prévisions conformes à la loi de Newton et celles qui résultent 
de la loi d'Einstein est très faible, de l'ordre de grandeur 
des erreurs d observation. 

Mais pour Mercure, dont l'orbite a une forte excentri- 
cité et qui est près du Soleil, si l'on introduit dans la for- 
mule les valeurs connues de la masse du Soleil, du grand 
axe et de l'excentricité de l'orbite, et de la durée de révo- 
lution de Mercure on trouve une rotation de périhélie 
(point le l'orbite le plus rapproché du soleil) de 42,9 
secondes d arc par siècle. 

Depuis que Leverrier a établi la théorie de Mercure, 
en tenant compte des perturbations dues aux autres pla- 
nètes, de Vénus en particulier, le désaccord entre les 
prévisions de la mécanique newtonienne et les observations 
est précisément 43 par siècle, écart qu'on n'avait pas réussi 
à expliquer. 

La nouvelle mécanique céleste basée sur la loi d Eins- 
tein se développe actuellement, en particulier en ce qui 
concerne la théorie de la Lune. 

SECONDE VÉRIFICATION. — DÉVIATION DE LA 
LUMIÈRE. — La ligne d'Univers d'un rayon lumineux est 
une géodésique de longueur nulle, puisque Js est constam- 

8 BECQUEREL 



114 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRA\1TAT1ÔM 



ment nul pour la lumière (p. 57). La trajectoire d'un rayon 
lumineux s'obtient en écrivant cette condition. 

On trouve (note 1 3) que si un rayon lumineux se dirige 
sur le centre matériel (propagation radiale) la vitesse de la 

lumière diminue à mesure que 
la lumière se rapproche de ce 
centre, et le même résultat serait 
exact pour un mobile animé 
d'une vitesse très voisine de l'a 
vitesse de la lumière: c est une 
véritable répulsion. Pour un rayon 
passant transversalement, la vi- 
tesse en un point de ce rayon est 
d'autant plus faible que la dis- 
CenXre \\ \ \ ^^^i^e de ce point au centre ma- 
'■n.cUé.roel * j ] \ | tériel est moindre ; il en résulte 

que tout se passe comme si le 
rayon lumineux traversait, dans 
un espace euclidien, un milieu 
réfringent réparti en couches 
concentriques dont l'indice de 
réfraction augmenterait à mesure 
que la distance au centre serait 
plus petite ; il est facile de voir 
Pu- 13 que la trajectoire s'mcurvc en 

donnant toutes les apparences 
d'une attraclion de la lumière par le centre (fig. 15). 

Ces résultats montrent qu'il est, au fond, inexact de 
qualifier le centre matériel de * masse attirante '. La ma- 
tière est un centre de déformation de l'Espace-Temps et 
l'effet produit sur un mobile nous apparaît, selon la gran- 
deur et l'orientation de la vitesse, soit sous l'aspect d une 



APPLICATIONS DE LA LOI D*EINSTEIN 115 

attraction, soit sous l'aspect d'une répulsion. Nous sommes 
lom des idées newtoniennes. 

Il est essentiel de remarquer que les résultats qui pré- 
cèdent sont établis dans un système de référence lié au 
centre matériel et en prenant comme coordonnées des 
coordonnées aussi voisines que possible des coordonnées 
euclidiennes (coordonnées devenant d'ailleurs euclidiennes 
à dislance infinie du centre). Il n'en reste pas moins vrai 
que l'observateur en chute libre (c'est le cas de l'observa- 
teur terrestre dans le champ de gravitation du Soleil, car 
la Terre est en chute libre), faisant avec des règles et des 
horloges, dans son voisinage immédiat, la mesure de la vitesse 
de la lumière, confondrait l'Univers réel avec l'Univers 
euclidien tangent et trouverait toujours dans toutes les 
directions une vitesse égale à la constante c ; la variation 
de vitesse ne peut apparaître que si 1 on envisage une très 
grande étendue du champ de gravitation. 

Le calcul montre que pour un rayon venant de très 
loin, et parvenu très loin du centre après être passé à la 
distance minimum R de ce centre, la déviation totale de 

ce rayon est — 7^^ M étant la masse du centre, et G la 
c'R 

constante de la gravitation. Cette déviation est exactement 
double de celle qui résulterait de la loi de Newton, appli- 
quée à un mobile de vitesse initiale c. Pour un rayon passant 
tangentiellement au bord du soleil, on trouve 1 ,74 : ainsi 
une étoile, vue près du bord du Soleil, doit être déviée 
vers l'extérieur du Soleil, de 1 ,74 à partir de sa position 
normale sur la sphère céleste. 

Malgré la petitesse de l'effet, l'exactitude de ce résultat 
a été vérifiée par les astronomes de Greenwich et d'Oxfcrd, 
au cours de l'éclipsc totale de Soleil du 29 mai 1919. La 



116 RELATIVITE GENERALISEE ET GRAVITATION 

zone de totalité traversait l'Atlantique, commençant au 
Brésil et finissant en Afrique. Une première expédition 
(MM. Crommelin et Davidson) se rendit à Sobral au 
Brésil, et prit une dizaine de photographies pendant les 
cinq minutes que dura la totalité de 1 éclipse. Deux mois 
après, la même région du ciel fut visible de nuit et fut 
photographiée avec les mêmes appareils pour permettre la 
comparaison ; on trouva que les déplacements des étoiles 
sont bien, comme le prévoit la théorie, en raison inverse 
de la distance au centre du Soleil, et les déplacements 
ramenés à ce qu'ils seraient au bord même du Soleil, ont 
donné une moyenne de 1 ,98, L'autre expédition (MM. Ed- 
dington et Cottingham), installée dans l'île du Prince (golfe 
de Guinée), a trouvé une moyenne de 1 ,60. La moyenne 
des deux résultats, 1 ,79, concorde remarquablement avec 
la valeur prévue par Einstein. 

La déviation observée ne peut d'ailleurs pas être attri- 
buée à une atmosphère ou à de la matière cosmique entou- 
rant le Soleil jusqu'aux distances pour lesquelles les mesures 
ont été faites, car le pouvoir absorbant et la densité d'une 
telle atmosphère auraient affaibli notablement l'éclat des 
étoiles ; d'autre part, des comètes suivies dans la même 
région n'ont manifesté aucun ralentissement. 

TROISIÈME VÉRIFICATION — LE DÉPLACEMENT 
DES RAIES SPECTRALES. — La formule qui donne 
l'expression de ds' dans un champ de gravitation permet 
d'établir que, si deux horloges identiques sont placées, 
l'une sur la Terre où le champ de gravitation est faible, 
l'autre sur le Soleil oii le champ est intense, pour l'obser- 
vateur situé sur la Terre l'horloge solaire a une marche plus 
lente que l'horloge terrestre (note 13). 

On démontre que ce résultat entraine la conséquence 



APPLICATIONS DE LA LOI D*EINSTEïN 117 

suivante. Considérons une des vapeurs lumineuses présentes 
sur le Soleil ; les raies spectrales de cette vapeur doivent, 
dans le spectre solaire, nous paraître déplacées vers le 
rouge, par rapport à la position des raies de la même 
vapeur dans le spectre obtenu au laboratoire. Ce déplace- 
ment est très faible (0,01 1 unité d'Angstrôm pour le milieu 
du spectre). 

M. A. Pérot, a3'ant comparé dans le spectre solaire et 
dans le spectre obtenu au laboratoire les positions de raies 
du cyanogène et du magnésium, a établi qu'après correc- 
tions de déplacements dus à des causes connues, il subsiste 
un écart égal, dans les limites d approximation des mesures, 
à celui prévu par Einstein. Le même résultat a été obtenu 
par MM. Buisson et Ch. Fabry pour de nombreuses raies 
du fer. 



CHAPITRE XII 

LA COURBURE DE L'ESPACE ET DU TEMPS. — 
HYPOTHÈSES COSMOLOGIQUES 



L'espace fini bien qu'illimité. — L'ancienne con- 
ception de l'espace infini comporte des contradictions 
connues depuis longtemps. Doit-on admettre que dans cet 
espace infini la matière est répandue partout avec une den- 
sité moyenne constante (l'unité de volume étant prise 
suffisamment grande) ? Ce serait admettre une quantité 
infinie de matière ; on peut démontrer que dans cette 
hypothèse la loi d'Einstein, comme celle de Newton, 
conduirait à des résultats contradictoires. 

Doit-on admettre que l'Univers a une sorte de centre 
près duquel la densité de la matière est maximum et autour 
duquel la matière se raréfie jusqu'au vide complet ? La ma- 
tière formerait une île dans l'espace infini. Mais alors toute 
énergie rayonnante sortie de cette île se propagerait à 
l'infini, sans retour, et se dissiperait ; la matière elle-même 
se disperserait, comme l'atmosphère d un astre qui s éva- 
pore peu à peu dans l'espace. Il faudrait admettre que, puisque 
l'Univers n'est pas mort, la matière n'existe que depuis un 
temps limité, ce qui recule toutes les difficultés et n «mi 
résout aucune. 

Pour un homme intelligent qu'on aurait laissé dans 
l'ignorance de la forme de la Terre, la disparition pro- 



LA COURBURE DE L*ESPACE ET DU TEMPS 119 

gressive d'un navire sous l'horizon serait une révélation " 
ayauït compris que la surface est courbe, cet homme envi- 
sagerait la possibilité d'une surface finie, d'un monde 
fermé. Pareille révélation est donnée par la théorie d'Eins- 
tein, par le simple fait qu'un raj'^on lumineux ne se pro- 
page pas nécessairement en ligne droite dans le vide, par 
la notion de courbure de l'Univers. On supprimerait les 
difficultés de l'ancienne conception en admettant que 
l'espace est fini bien qu illimité, comme la surface dune 
sphère qui ne comporte pas de bornes puisqu on peut en 
faire le tour indéfiniment. Le temps seul resterait infini. 

Ce n'est pas là une hypothèse arbitraire. M. Einstein a 
établi, par des considérations basées sur la théorie de 1 élec- 
tromagnétisme (voir cette théorie dans l'appendice, note 14), 
sur les propriétés du tenseur d'énergie électromagnétique 
(qu'on doit ajouter au tenseur d'impulsion-énergie maté- 
rielle quand il y a un champ électromagnétique) sur la 
théorie électronique de la matière, que la loi de gravitation 
qu'il avait primitivement donnée — celle que nous avons 
admise jusqu'à présent — doit être corrigée (note 1 5). 

R V- étant, comme précédemment, le tenseur de Riemann- 
Christofîel contracté (p. 1 07), posons Rxv = Rx- — '' i? j^-, ''' 
étant une constante universelle, d ailleurs extrêmement 
petite. La loi dans le vide doit être 

(24) R;, = au lieu de R,, = 

et la loi, en tout point où se trouve de la matière ou de 
1 énergie électromagnétique s exprime par 

(25) R:,-^-g.,R'=-/.T. 



au lieu 



R.— -g.,R = — /.T. 
2 



120 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

R étant l'invariant R — 4/-, et T., le tenseur total 
d'énergie (tenseur matériel + tenseur d'énergie électro- 
magnétique). 

Une modification radicale est la conséquence de la nou- 
velle loi. Alors que dans la loi primitive la courbure totale R 
était nulle dans le vide , et égale à v.Co (po densité propre) 
dans la matière, maintenant la courbure dans le vide est la 
constante Ro =^ 4^^ et la courbure dans la matière est 

R = Ro + /.po. 

Mais, à part ce qui vient d'être dit, rien n'est changé a. la 
théorie, où il suffit de remplacer R^. par R., et R par 
R = R — 4/-. La nouvelle loi entraîne, comme la précédente, 
la conservation de l'impulsion et de l'énergie. D'ailleurs le 
terme correctif Aga/ étant très petit, on peut le supposer nul 
dans toutes les applications astronomiques. 

Les vitesses relatives des astres sont toujours extrême- 
ment petites par rapport à la vitesse de la lumière. Cette 
remarque nous permet d'envisager un système de référence 
relativement auquel la matière est en moyenne au repos et 
dans lequel les vitesses individuelles sont faibles. Dans ce 
système la matière est quasi-stationnaire. Adoptant ce 
système, si l'on cherche Y aspect d'ensemble de 1 Univers, en 
négligeant les perturbations locales dues à la distribution 
irrégulière de la matière (comparables au relief du sol par 
rapport à la forme d'ensemble de la terre), la nouvelle loi 
comporte deux solutions données, l'une par M. Einstein, 
l'autre par M. de Sitter (note 15). Dans l'une comme dans 
l'autre la coupe à temps constant est un espace à cour- 
bure constante positive. L'espace est fermé. 

1 . Une courbure totale nulle ne signifie pas que l'Univers n'est pas courbe car la 
courbure totale peut être nulle sans que les rayons de courbure principaux soient 
tous infinis. 



LA COURBURE DE l'eSPACE ET DU TEMPS 121 



L'univers d'Einstein. — Pour mieux comprendre, 
considérons d'abord une surface courbe au lieu d'un espace 
courbe. Imaginons des êtres infiniment plats, entourés 
d objets tout en surface, assujettis à vivre sur la surface 
d'une sphère (fig. 1 6) sans avoir la perception d'une troi- 
sième dimension d'espace. Confondant en chaque point P 
la surface de leur monde sphérique avec le plan tangent 
PT, i!s imagineront la géométrie plane (celle d'Euclide) et 
penseront d'abord que 
leur univers s étend à 
1 infini. Ils appelleront 
ligne droite " le plus 
court chemin d'un point 
à un autre. S'ils portent 
autour d un même point 
P, dans toutes les direc- 
tions, des longueurs 
égales, ils construiront 
un cercle, et tant que 
le rayon sera petit, ils 
trouveront que le rap- 
port de la circonférence 
au diamètre est un 
nombre indépendant du 

rayon ~ = 3,141 5 Cependant, s ils tracent des cercles 

de rayons" de plus en plus grands PPi, PP2 etc. — ce 
qu ils appellent rayon étant un arc de grand cercle puisqu ils 
restent sur la surface — ils constateront que le rapport de 
la circonférence au diamètre devient inférieur à ~ et 
diminue à mesure que le rayon augmente, enfin que la 
circonférence elle-même décroît et finit par se réduire à un 
point P — le point antipode. Les mathématiciens de ce 




16. 



122 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

monde comprendront que leur univers est courbe ; ils dédui- 
ront de leurs mesures d'arpentage que c'est une surface à 
courbure constante positive finie bien qu illimitée, limitant 
un ' hypercercle " à trois dimensions dont ils pourront 
calculer le rayon. 

Ajoutons une dimension, nous pouvons concevoir 1 espace 
sphérique. Cet espace est difficile à se représenter ; il n a abso- 
lument rien de commun avec l'intérieur d'une boule limitée 
par une surface sphérique dans l'espace à trois dimensions ; 
/■/ limite une hypersphère dans un espace à quatre dimen- 
sions comme une surface sphérique limite une sphère 
ordinaire. Dans l'espace courbe qui limite une hypersphère, 
portons à partir d'un point, dans toutes les directions, des 
longueurs égales mesurées sur des fils tendus, nous obte- 
nons une sphère. A partir du même point portons des lon- 
gueurs de plus en plus grandes, nous obtenons d abord 
des sphères de surfaces croissantes, puis une sphère 

maximum (pour la longueur — ~r, r étant le raj'on de 

l'hypersphère) ensuite les sphères décroissent — comme les 
cercles de l'exemple précédent — pour se réduire au point 
antipode a la distance -r. 

Dans l'Univers d'Einstein, l'espace est sphérique mais le 
temps n'a pas de courbure, il est rectiligne : VEspace-Tcmps 
est cylindrique. Cette hypothèse constitue un retour à 
l'espace absolu et au temps absolu ; la séparation entre 
l'espace et le temps est rétablie, parce que la direction des 
génératrices du cylindre donne un temps d'Univers absolu. 
Mais c'est un absolu dont nous n'avons pas connaissance 
en toute rigueur, car, pour tout observateur en mouve- 

|. Ou elliptique, mais nous ne parlerons que de ^o^pace sphtriquc. 



I LA COURBURE DE l'eSPACE ET DU TEMPS 123 

ment par rapport à l'ensemble de la matière mondiale, 
l'espace et le temps restent unis suivant la conception de 
Minkowski ; le temps que nous mesurons, variable d'un 
système à 1 autre, variable d'un point à un autre dans un 
champ de gravitation, n est pas ce temps absolu ; toutefois 
l'écart est bien faible, il ne serait notable que si 1 on par- 
venait à réaliser des vitesses considérables relativement à 
l'ensemble de la matière mondiale. 

Une conséquence curieuse est que les rayons lumineux 
émanés d'un point, après s'être concentrés au point antipode, 
pourraient se concentrer de nouveau au point de départ, 
qui ne serait plus d'ailleurs le point occupé par la source 
de lumière car celle-ci se serait déplacée pendant le temps 
— des billions ou des trillions d'années peut-être — que 
demanderait la lumière à faire le tour de 1 Univers. Beau- 
coup d'étoiles ne seraient que des fantômes d un passé très 
reculé. Mais cette conception est peu vraisemblable; il 
est bien probable que la lumière serait absorbée dans un 
pareil voyage, car il y a toujours des traces de matière 
répandues dans 1 espace. 

L'univers de de Sitter. — Dans la solution de M. de 
Sitter la coupe à temps constant est encore un espace 
sphérique, mais il y a aussi une courbure du temps. L Uni- 
vers est hyperbolique. II n'y a plus de temps d'Univers absolu; 
l'espace et le temps restent unis : c'est la relativité dans 
toute sa plénitude. 

Une conséquence remarquable de la courbure du temps 
est que le temps qui s'écoule entre deux événements se 
produisant, relativement à l'observateur, en un même point 
d'espace, paraît à cet observateur d autant plus long que 
le point est plus voisin d'une certaine zone où le lemps esf 



124 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

stationnaire (l'observateur ne perçoit pas le temps propre 
de cette zone, parce que ce temps et le sien sont orthogo- 
naux) (^note 1 5). 

Mais ceci n'est qu'un point de vue relatif a l'observateur 
et ne signifie pas que le cours du temps soit arrêté dans 
cette zone ; si l'observateur s'y transportait, il trouverait 
que la Nature y est aussi active que partout ailleurs, et 
c'est son ancienne demeure qui lui paraîtrait immobilisée 
dans un repos éternel. 

La lumière elle-même demanderait un temps infini 
pour parvenir à la zone du temps stationnaire ; alors, 
plus de fantômes d'étoiles, car il y a la barrière du 
temps ; pour l'observateur, jamais un mobile, jamais un 
rayon de lumière ne franchiront cette barrière. Et pourtant, 
si l'observateur pouvait mesurer la vitesse d'un mobile 
à mesure qu'il s'éloigne, il trouverait que cette vitesse 
(et à fortiori celle de la lumière) croît indéfiniment ! Ce 
serait, pour l'homme auquel il manque une dimension pour 
percevoir directement la courbure, l'illusion complète d un 
Univers infini dans l'espace comme il est mfini dans le 
temps. 

On se demande si les déplacements des raies spectrales 
des nébuleuses spirales (mondes extrêmement lointains), 
déplacements qui ont presque toujours lieu vers le rouge, 
ne seraient pas la manifestation du ralentissement appa- 
rent du temps, c'est-à-dire de la courbure du temps qui 
pourrait se manifester sur de si grandes distances. 

L'accélération et la rotation, — Nous avons 
déjà insisté sur le fait que toute accélération semble pos- 
séder un caractère absolu. L'explication est la suivante: les 
lignes d'Univers naturelles, ou géodésiques, ont une signi- 



LA COURBURE DE l'eSPACE ET DU TEMPS 125 

fication absolue : elles sont déterminées par la structure 
géométrique de l'Espace-Temps. En tout point-événement, 
il existe un Univers tangent, l'Univers euclidien de l'obser- 
vateur en chute libre ; dans un système de référence lié 
à cet observateur, ou dans un système en translation uni- 
forme par rapport à lui, les géodésiques peuvent être à 
très peu près confondues avec des droites d'Univers dans 
une grande étendue. Le mouvement de translation uniforme 
n'a aucun caractère absolu puisqu'il conserve aux géodé- 
siques leur forme rectiligne ; il ne peut pas être déterminé 
par rapport aux géodésiques. Au contraire toute accéléra- 
tion (et en particulier toute rotation) par rapport à ces 
lignes d Univers a une réalité objective. C est cette réalité 
qui est observée avec le pendule de Foucault qui permet 
de constater la rotation de la terre. 

La structure d'univers et l'éther. — L'Univers 
possède une structure géométrique connexe de la présence 
de matière ou d'énergie électromagnétique, puisque le champ 
de gravitation qui règne au voisinage de la matière (ou de 
l'énergie) n'est autre chose qu'une déformation de l'Espace- 
Temps. 

Si l'on cherche à préciser la relation qui doit exister 
entre la structure de l'Espace-Temps et la matière, deux 
points de vue opposés peuvent être envisagés. 

I " On peut attribuer à la matière, ou plus exactement 
aux électrons qui la composent, un rôle primordial. Ce 
point de vue parait conforme à la conception de l'Univers 
cylindrique d'Einstein, car il résulte des formules de la 
solution d'Einstein que la courbure d'ensemble de l'Univers 
est déterminée par la quantité totale de matière existante ; 
on trouve que le rayon U de l'Univers est lié à la masse 



126 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 
totale M de la matière mondiale par la relation 

U = — M 

4''- 

("/. est la constante de la formule 22, p. 109). 

de sorte que, si par un miracle de la matière venait à être 
créée dans 1 espace existant, le volume de cet espace aug- 
menterait ; la matière crée, en quelque sorte, l'espace qui 
la contient, et s'il n'y avait pas de matière, il n'y aurait 
pas d Univers. 

2" Une autre théorie, soutenue par M. Eddington, est 
la suivante : *' Je préfère, dit M. Eddington, regarder la 
matière et 1 énergie, non pas comme des facteurs produi- 
sant les différents degrés de courbure do l'espace, mais 
comme des éléments de perception de cette courbure. 

Cette manière de voir est en accord avec la solution de 
de Sitter, car dans cette solution il n'y a aucune relation 
entre le rayon d'Univers et la masse totale de la matière. 
L Univers a une courbure naturelle ; la matière n'est pas la 
cause de la courbure d'ensemble ; elle correspond à des 
sortes de montagnes ou de rides, irrégularités locales par 
lesquelles l'Univers est bien moins altéré que ne l'est la 
terre par le relief du sol. D'après cette théorie on pourrait 
concevoir un Univers vide de matière. 

Dans cette hypothèse de la courbure naturelle, les lois 
générales sont des identifications de grandeurs physiques avec 
des grandeurs géométriques, et on peut les considérer comme 
des définitions de grandeurs physiques. Si la courbure totale 
est 4/« et si, de plus, le tenseur R;o est nul, nous disons 
qu il y a le vide : cette structure géométrique se manifeste à 
nous sous un aspect particulier que nous appelons le vide. 
Si la courbure totale est encore 4/-, mais si R;-.. n'est pluS' 



LA COURBURE DE l'eSPACE ET DU TEMPS 127 

nul, nous disons qu'il y a de l'énergie rayonnante ; si enfin 
la courbure totale est différente de 4a nous sommes en pré- 
sence d'une structure géométrique que nous appelons matière, 
et ce que nous appelons densité propre n'est autre chose 

que l'invariant géométrique — (R — 4^). 

y. 

Le rôle primordial est attribué à l'Espace-Temps, dont les 
divers degrés de courbure nous apparaissent sous des 
aspects que nos sens distinguent les uns des autres, et 
auxquels nous avons donné les noms de vide, rayonnement, 
matière. Cette manière de voir nous paraît très séduisante 
par sa logique et sa simplicité . 

C'est un retour à l'hypothèse d'un substratum univer- 
sel ", de Yéther par conséquent, mais cet éther est bien 
différent de celui des anciennes théories. 

L'espace vide de matière n est pas amorphe, car la théorie 
de la relativité, qui ramène la mécanique et la physique à 
la géométrie de Riemann, prouve que 1 Univers possède des 
propriétés métriques en relation avec la matière présente ou 
avoismante. Ces propriétés sont précisées, dans chaque 
système de référence, par les valeurs des dix potentiels 
g;o du champ de gravitation et aussi, d'après une générali- 
sation due à M. Weyl, par les valeurs de quatre grandeurs 
qui constituent les composantes d'un quadrivecteur, le 
potentiel électromagnétique. 

On doit, aussi bien dans l'hypothèse cosmologique 
d Einstein que dans celle de de Sitter, écarter la concep- 
tion que 1 espace serait physiquement vide, au sens du néant 
absolu ; il faut, non pas supprimer l'éther, mais donner une 

I . Signalons qu'avec cette interprétation une difficulté se présente au sujet du 
principe de moindre action. Toutefois cette difficulté semble pouvoir disparaître 
dans les extensions de la théorie d'Einstein dont il sera question plus loin. 



128 RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION 

forme nouvelle à la notion du substratum universel : l'éther 
de la relativité n'a rien de comm,un avec le milieu quasi- 
matériel admis autrefois : c est un milieu privé ae toutes 
les propriétés mécaniques et cinématiques, mais qui déter- 
mine les phénomènes mécaniques et électromagnétiques 
(Einstein). 

D'après Einstein, l'éther détermine les relations métri- 
ques dans le continuum spatio-temporel, par exemple les 
possibilités de configuration des corps solides aussi bien que 
les champs de gravitation . 

Deux extensions successives de la théorie d'Einstein, 
dues à M. Weyl et à M. Eddington, paraissent appor- 
ter un complément fondamental. Grâce à 1 union, en une 
géométrie unique, du champ de gravitation et du champ 
électromagnétique, on peut concevoir que les électrons (et 
par suite la matière) soient des états particuliers de la 
structure d'Univers, de l'éther au sens qu'on doit attribuer 
aujourd'hui à ce mot. 

En résumé l'espace possède des propriétés phj^siques, et 
l'on peut exprimer ce fait en disant qu'un éther " existe. 
Mais * cet éther ne doit pas être conçu comme étant doué 
de la propriété qui caractérise les milieux pondérables, 
c'est-à-dire comme constitué de parties pouvant être suivies 
dans le temps : la notion de mouvement ne doit pas lui 
être appliquée " (Einstein). 

On peut dire encore, avec M. Eddington, que l'éther 
est incapable de créer une division de l'Univers en espace 
et en temps. 



CONCLUSIONS GÉNÉRALES 



La loi de la gravitation est maintenant connue : elle englobe 
toute la dynamique et bouleverse les anciennes conceptions. 
Jusqu'à la découverte d'Einstein, non seulement on ignorait 
la loi exacte, mais on était bien loin de soupçonner la 
nature du champ de gravitation : on est certain aujourd'hui 
que ce champ est la manifestation du caractère non eucli- 
dien de la structure géométrique de l'Univers. 

L Univers est caractérisé, en chaque point-événement, 
par ses propriétés géométriques, liées a la présence ou au 
voisinage de la matière. L'espace n'est ni un vide amorphe, 
m l'éther quasi-matériel de l'ancienne pnysique, et il ne 
doit pas être infini. 

Le temps est l'aspect d'une des dimensions de la mul- 
tiplicité quadridimensionnelle qui constitue 1 Univers ; il 
reste très mystérieux. S'il existe un système de référence 
privilégié auquel est hé un " temps d'Univers absolu " (hypo- 
thèse d'Einstein), ce temps absolu n'est pas, en toute 
rigueur, celui que nous percevons et que nous pouvons 
mesurer ; pour nous il y a toujours, suivant la conception 
de Minkowski, union de l'espace et du temps : la division 
de l'Univers en espace et en temps n'est possible qu en 
choisissant convenablement les coordonnées, et elle est 
relative à 1 observateur. 

9. BECQUEREL 



130 CONCLUSIONS GÉNÉRALES 

Toutefois, les phénomènes de la Nature ont un caractère 
absolu, parce qu'ils sont déterminés par des coïncidences 
absolues dans l'Espace- Temps, des intersections de lignes 
d'Univers. 11 y a des réalités que la science peut atteindre : 
elles se traduisent par des lois qui s expriment à l'aide 
d'équations intrinsèques, de relations tensorielles où tout 
système de coordonnées a disparu. 

Cependant la théorie de la relativité ne remonte pas 
aux causes profondes des phénomènes ; elle ne fait pas 
connaître la nature du substratum universel. C est une 
description en langage mathématique, une interprétation 
géométrique des lois physiques et une magnifique synthèse 
de ces lois. C'est, dit M. Eddington, la science de la 
structure et non celle de la substance . 

La mécanique et la physique sont ramenées à la géo- 
métrie non-euclidienne de Riemann, ou plus exactement à 
la géométrie plus générale encore de MM. Weyl et Ed- 
dington (note I 5) ; c'est là le fond de la théorie. Dans la 
géométrie, on groupe dans un tenseur des grandeurs insé- 
parables les unes des autres, et l'annulation d un tenseur 
(ou l'égalité de deux tenseurs) exprime une propriété intrin- 
sèque de l'Univers. En mécanique et en physique, on forme 
des tenseurs avec des grandeurs que nous révèle notre 
science expérimentale ; la théorie de la relativité affirme 
que les tenseurs mécaniques et physiques fondamentaux 
doivent être égalés à certains tenseurs de la géométrie 
riemannienne. 

Les tenseurs mécaniques et physiques sont égaux à des 
tenseurs géométriques : cela ne saurait être mis en doute, 
mais comment faut-il comprendre ces égalités ? S'agit-il 
c/' équations " ou d identités " ? La loi de la gravita- 
tion, celles de l'électromagnétisme sont-elles des conditions 



CONCLUSIONS GÉNÉRALES 131 

imposées par la Nature aux relations entre la matière et 
l'Espace- Temps, ou ne sont-elles que des identifications de 
l'aspect physique et de l'aspect géométrique des propriétés 
d'une même entité ? Si l'Espace-Temps et la matière sont 
deux entités distinctes, les lois fondamentales sont des équa- 
tions. Mais SI l'on admet, avec M. Eddington, que les par- 
ticules qui, en dernière analyse, constituent la matière ne 
sont autre chose qu'une structure géométrique d Univers, la 
matière cesse d'être une entité primordiale, les tenseurs 
mécaniques et physiques deviennent des tenseurs géomé- 
triques vus sous un aspect relatif à notre interprétation de 
la Nature, relatif à notre entendement. 

Admettons cette conception. Est-ce dire que la loi de la 
gravitation est complètement subjective } Non pas, au fond, 
car il existe un théorème de géométrie, qui se traduit par les 
quatre identités dont nous avons parlé (p. 108) ; c'est là une 
propriété intrinsèque de la multiplicité quadridimensionnelle 
qui constitue 1 Univers, c est une vérité objective. Mais la 
loi de conservation de l'impulsion-énergie et la loi de la 
gravitation sont des aspects subjectifs de cette vérité. L'homme 
a recherché ce qui, dans la N ature, se présente à ses yeux comme 
permanent : il a trouvé les lois de conservation de la masse, 
de 1 énergie, de la quantité de mouvement ; par synthèses 
successives, il a été conduit à identifier les grandeurs phy- 
siques qu'on peut grouper dans le tenseur matériel T,- avec 
celles qui constituent un tenseur géométrique, le tenseur 

Rjtv — — gx-R (éq. 25, p. 119) dont le théorème mentionné 

plus haut exprime précisément les propriétés de permanence : 
c est la loi de la gravitation, d'où découle toute la dyna- 
mique. On ne peut pas prétendre que la Nature force la 
matière à suivre cette loi, car c'est nous qui définissons la 



132 CONCLUSIONS GÉNÉRALES 

matière de façon que cette loi soit satisfaite : ce que nous 
avons appelé tenseur matériel ou tenseur impulsion-énergie 
n'est pas autre chose qu'un certain tenseur d'Univers conser- 
vatif; notre loi de conservation ainsi que notre loi de la 
gravitation n expriment, au fond, que des identités. 

Nous avons fait allusion à deux généralisations succes- 
sives de la théorie d'Emstein. Ces généralisations (Weyl 
et Eddington) complètent la théorie d'Einstein sans l'alté- 
rer; leur intérêt est considérable. Partant des propriétés 
géométriques les plus générales que doit posséder un uni- 
vers quadridimensionnel, M. Eddington a montré qu'il doit 
exister deux catégories de propriétés qui correspondent à 
ce que les mathématiciens peuvent appeler la non-intégra- 
bilité de la direction et la non-mtégrabilité de la longueur ; 
il doit en résulter, à nos yeux, deux catégories de phéno- 
mènes, deux champs de force de natures différentes. La 
quadruple indétermination des coordonnées doit se traduire 
par quatre formules qui expriment une loi de conservation ; 
mais ce n est pas tout : l'indétermination du système de 
mesures, c'est-à-dire l'indétermination de l'unité choisie en 
chaque point pour la mesure des intervalles, doit donner 
une autre loi de conservation. 

C'est exactement ce que l'expérience nous révèle. Nous 
connaissons deux champs de force : le champ de gravita- 
tion et le champ électromagnétique ; la conservation de 
l'impulsion-énergie est une loi expérimentale qui s exprime 
par quatre équations; l'autre loi, bien connue, est celle de 
la conservation de l'électricité. 

Quelle que puisse être, dans l'avenir, 1 évolution des 
idées, l'union de l'espace et du temps, l'inertie et la pesan- 
teur de l'énergie, la loi de la gravitation, la dynamique de 
la relativité, la courbure de 1 Univers, les lois générales de 



CONCLUSIONS GÉNÉRALES 133 

rélectromagnétisme sont des résultats, presque tous dus au 
génie d'Einstem, qui resteront acquis à la science. 

La théorie actuelle pourra être retouchée ou plutôt com- 
plétée, surtout en ce qui concerne les hypothèses cosmo- 
logiques, la généralisation de la théorie d'Einstein et 1 in- 
terprétation philosophique des lois. Mais ce qu'on peut 
affirmer, c'est qu'un retour en arrière, vers les idées encore 
enracinées dans quelques esprits, est une chose impossible. 



APPESDICE ' 
I. — RELATIVITÉ RESTREINTE. 

Note 1 (p. 21). 
Sur l'invariance de la distance spatiale de deux événements 

simultanés. 

Soient .\!(/izi, xiyizi les coordonnées d'espace de deux 
événements simultanés dans un premier système S, et soient 
X\y\Z\y xiyizi les coordonnées des deux mêmes événements 
dans un second système S . La distance spatiale est donnée 
par les équations : 

/ " = \Xi — Jfi)' -h Vi/:^ — yu~^ yzi — Zi)' dans le système S 
/ " = (j:2 — x\)'~r-{yi — i/i)'~l~(zj — zi)" dans le système S . 

L application des formules du groupe de Galilée donne 
1=^1 ; le temps s'élimine parce que, la simultanéité étant 
supposée absolue, les événements se produisent à la même 
époque t dans les deux systèmes. 

Note 2 (p. 24). 

Sur les équations de la dynamique classique. 

m étant la masse d'un point matériel ; X, Y, Z et X , 
Y , Z désignant les composantes de la force F dans les 

1 . Un exposé d'ensemble beaucoup plus complet se trouve dans les ouvrages 

suivants : H. Weyl Raum, Zeil, Malcric ; Eddington. Espacc-Temps-Cracitation, 

Irad. par J. Rossignol (Hermann, éditeur); Max von Laue, Die Relalicilals- 

ihcoric : Jean Becquerel. Le principe Je relativilc cl la ihéoric Je la gravitation 

Gauthier- Villari, éditeur). 



RELATIVITÉ RESTREINTE 135 

systèmes S et S non accélérés, les équations du mouvement 
s'écrivent 

m — ; ^= X, m — ^, = Y, m — 7 = Z (système S) 
de dt- dt 

m — - = X , m — "v ^ Y , m -—~- = Z (système S ) 
dt~ dt dt' 

avec la relation 



F = \'X^-^Y^-f-Z^"==\'X'^-hr^ + 2^ 

Les équations fondamentales ont la même forme dans 
les deux systèmes ; on peut les résumer par la relation 
vectorielle 

m\' = F (v vecteur accélération) 

où tout système de coordonnées a disparu. 

Note 3 (p. 31). 
Sur la contraction de Fitzcerald-Lorentz. 

Soient / le trajet optique OMi de la lumière entre la 
face semi-argentée de la lame A et le miroir Mi ; /le trajet 
OMj entre la lame et le miroir Mj; si le bras OMi est 
parallèle au mouvement absolu de la terre, le temps que 
met la lumière à aller de O au miroir Mi et à revenir en 
O est 

/' /' 

c — V c-\- V 

Le temps employé pour parcourir le bras OM.>, aller et 
retour, est 

VI 2 i 

c — V 



36 APPENDICE 

Pour que ^i = /2, il faut et il suffit que 



c" 



7 = V 



Note 4 (p. 37). 

Remarque sur la mesure du temps. 

En disant que les observateurs ont des horloges étalons 
identiques, nous supposons qu ils mesurent le temps en 
prenant comme étalon de temps la période d'un même 
phénomène, en choisissant un phénomène qui ne soit pas 
déterminé par des conditions spéciales à un système par- 
ticulier : par exemple, un pendule ne pourra pas servir 
d'étalon universel, parce que sa période d'oscillation est 
déterminé par la pesanteur ; mais on pourra adopter la 
période d'une radiation émise par un corps et prendre pour 
unité de temps, dans tous les systèmes, un même multiple 
de cette période. 

Note 5 (p. 39). 

Le groupe de Loreniz. 

Soit un même événement noté Xu, t/u, zv, tu par les 
observateurs du système S et noté Xu, (/.., zn, tu par les 
observateurs du système S en translation uniforme avec la 
vitesse D par rapport à S. 

Cherchons les fonctions/i ,/j,/;,/, satisfaisant aux relations 

X Afi, = fi{x Xu, y L/o, Z Zu, t — lu) 

t — /m =^ f\{x — Xu, y — - yo, z — zu, t — tu). 

Si l'on suppose la combinaison de l'espace et du temps 
homogène, ces formules doivent s'appliquer quel que soit 



RELATIVITÉ RESTREINTE 137 

révénement de référence (xd, y<^, z», h) ou (jcm, yv, Zn, /.,), et 
l'on trouve aisément la forme des fonctions : considérons 
trois événements (indices 0, 1 , 2), nous aurons 

Xi — Au ^^f\(xi Xu,yi y.,, Zi — Zn, ^i — /n), 

xi — xi ^=^fi(x> — Xi. y 2 — i/i, z> — zi, ti — /i), 
a:.' — x^i = fvyXi — ATo, yi ~~ y<>, zi — z.., ii — Us). 

D'oii 

f\{xt — A-n, etc..) = /i(a-j — Al. etc..) +/i(ai — ao, etc..)- 

équation fonctionnelle qui montre que f\ est une fonction 
linéaire et homogène de ses arguments ; il en est de même 

de/.././,. ,^ 

Prenons maintenant comme premier événement 1 émis- 
sion d'un signal lumineux en O et O à l'origine des temps ; 
au bout du temps /, pour l'observateur du système S, le signal 
lumineux est sur la surface de la sphère du système S. 

X' -\- y~ -\- z' — c't' = 0. 

la vitesse de la lumière étant une constante universelle, 
pour l'observateur du système S , le signal est au bout du 
temps / sur la sphère du système S 

X ' -f y ' ~\~ z' — c'/ ' = 0. 

Si A, y, z, /, X , y , z , t sont les coordonnées d un même 
appareil qui reçoit le signal (second événement), on a 

a' -4- i/- -h z' — c-t- = /.(a' + t/ ■ 4- z'" — c't') = 0. 

Les lois des phénomènes ne devant pas changer quand 
on passe de S à S et réciproquement, on a nécessairement 
A = 1 et 

(5-1) A'-hl/'-hz'— c'/' = A''4-i/'-'H-z' — cY". 



138 APPENDICE 

La disposition d'axes choisie exige que : 

i quels que soient i/ et z on ait à la fois x =OetA: = L'^ 

(5-2) - x,z^U - t/' = Oeti/ = 

— x,y^\.t — z' = Oetz = 0. 

Les relations linéaires et homogènes qui donnent x , y , 
z , t en fonction des x, y, z, t contiennent dans le cas 
général 1 6 coefficients fonctions de v ; avec la disposition 
envisagée, en vertu des conditions (5-2) il ne reste que 
7 coefficients; on les calcule aisément d'après Y identité (5-1) 
et l'on trouve les formules de Lorentz. 

Note 6 (p. 44). 
La composition des vitesses. 

Différencions les équations de Lorentz 

dx = - (c/jc -\- vdt), dy = dy\ dz =^ dz , 



X 



dt==^{dt'-hAdx) 



Divisant les trois premières de ces équations par la der- 
nière, nous obtenons 

dx t; + Vr 



(6-0 



\)x 


dt 


c 




-dy- 
dt 


c 


v'z 


^dz_ 
dt 


/ 

c 



RELAT1\'1TÉ RESTREINTE 139 

En particulier si, comme nous l'avons supposé dans le 
texte, est parallèle à v, on a 



(6-2) 



V 



vv 
c 



Note 7 (p. 52). 

CoNIKAXlION DES LONGUEURS ET DILMATION DU TEMPS. 

Soient A'i, A-2 et Ai, Xi les abscisses des deux extrémités 
de la tige dans les systèmes S et S ; la première des 
formules de Lorentz 

X == — (.Y Vt) 

appliquée aux deux pomts extrémités de la tige, à un même 
instant t du système S, donne 

(7- 1 ) X- — -vi = — (xi — Al) ou 1 = y-l . 

D autre part, considérons une horloge du système S et 
deux événements infiniment voisins se produisant sur cette 
horloge ; nous avons : invariant Js' = cdt ' = c~dt' — dx' 
avec dx = vdt. 

D'où 

(7-2) J/= ^ dt. 

y. 

Soit maintenant une tige infiniment courte dirigée paral- 
lèlement à la vitesse, immobile dans le système S et de 
longueui dx dans ce système ; considérons deux événe- 
ments infiniment voisins concernant cette tige; d'après (7-1) 



140 APPENDICE 

et \I-L), l'observateur du système S mesure : 

dx ^= y-dx et di ^= — dt , 

y. 

On a donc 

(7-3) dxdt = dx'dl. 

Invariance de l'h^pervolume d'univers. — Avec 
des tiges de longueurs au repos dx , dy , dz dirigées paral- 
lèlement aux axes, formons un parallélipipède rectangle, 
immobile dans S ; soit dt un intervalle de temps infiniment 
court marqué par une horloge au centre de parallélipipède; 
comme, avec notre choix d'axes, dy = dy et dz^^^ dz , 
nous obtenons 

(7-4) dxdydzdi — dx dy dz: dt 

ou encore en prenant comme coordonnée de temps la lon- 
gueur u ^^=^ et 

(7-5) dxdydzdu = dx dy dz du . 

Note 8 (p. 57). 

Sur le temps propre. 

Considérons deux mobiles Mi et Mu en coïncidence 
absolue aux événements A et B, et ayant, entre ces évé- 
nements, des lignes d'Univers différentes. Supposons que 
Ml soit en translation uniforme ; M.> a alors nécessairement 
subi une accélération entre les deux événements considé- 
rés. Repérons les événements dans un système S (en trans- 
lation uniforme) lié à Mi. 

Prenons deux époques / ei t-h dt du temps du système 
S, comprises entre les époques /a et /» auxquelles se pro- 



RELATIVITÉ RESTREINTE 141 

duisent, toujours dans le système S lié à Mi, les événements 
A et B. Aux époques ^ et / -h dt, le second mobile Mj est 
repéré x, y, z, t ; x H- <Jx, y -h dy, z -\- dz, l H- dl dans le 
système S; ces coordonnées déterminent, sur la ligne d'Uni- 
vers de Mj, deux événements infiniment voisins dont l'inter- 
valle est Js ; on a 

ds' = — dx' — dy' — dz' + cdt' 

mais on a aussi 



ds — cdt. 



par conséquent 



(8-1) ds = ycdt, ou dt=y.df (^•=\/ 



Les mobiles Mi et M^ étant en coïncidence absolue 
aux événements A et B, nous obtenons, par intégration. 



(8-2) I dt= l/^'y-dt. 



Plus le mouvement de Mj aura été accéléré, plus, par 
conséquent, les vitesses par rapport à Mi seront grandes 
puisque la durée totale /b — t^ est fixe, et plus le temps 
propre total sera court. 

En d autres termes, entre deux événements déterminés, 
la plus longue ligne d'Univers est celle qui correspond au 
mouvement rectiligne et uniforme. 

Note 9 (p. 59). 

La loi d'inertie. 
Une fonction a une variation nulle lorsqu'elle passe par un 



142 APPENDICE 

minimum ou par un maximum. Donc, pour la ligne géomé- 
trique la plus courte on a - I i// = 0, et pour la ligne 
d'Univers la plus longue on a *- 

(9-1) z j ds = 0. 

Dans un cas comme dans l'autre, l'énoncé sous forme de 
loi d'action stationnaire est le même. La formule (9-1) 
est l'expression intrinsèque, indépendante de tout système 
de coordonnées, de la loi d inertie. 

Note 10. 
I. — Le champ électromacnétiql'e. 

Dans un système de référence S, soient au point .v, y, z 
et à l'instant /: X, Y, Z les composantes de la force électrique. 
L, M, N les composantes de l'mduction magnétique, a la 
densité de charge multipliée par 4", Wx, Wy, Wz les compo- 
santes de la vitesse de la charge supposée en mouvement 
(courant de convection). Les équations de Maxwell-Lorentz 
s'écrivent 

/ _ 1 ^ ^ ^Z _ ^Y 

c ^t ^y ^z 
/ \ j c "^t ^z *V 

(10-1) ^ _J_^— ^^_^x 

c ^t ^x *>y 

Div,(L,M,N) = '-L + .W^.^N^Q_ 

O.V Ojy C^z 



RELATIVITÉ RESTREINTE 143 

- — -H-.'t^x — ^ -- 



(10-2) 









, ^t f <^x ^y 

Div.(X.Y,Z)='^ + '^+'-?=P. 

i>x ^y ^z 

Dans un système de référence S animé de la vitesse v par 
rapport à S, ces équations doivent être remplacées par des 
équations de même forme. Adoptons la disposition d'axes pré- 
cédemment considérée ; le calcul montre que ces équations 
restent les mêmes si les nouvelles grandeurs (lettres accen- 
tuées) sont liées aux anciennes par les relations suivantes : 

1 " Les formules de Lorentz pour les transformations 
d'espace et de temps ; 

2' Les formules (6-1) de composition des vitesses 
pour les w ; 

3" Les formules suivantes, pour la transformation des 
grandeurs électriques et magnétiques. 

X =x 



(10-3) 



\ y'^J-Cy-^n) 

<. y. \ c ' 

I Z'= L(z-f-^ M). 



L ==L 



(10-4) ^^ a \ c 

N'==:-WN--"-Y^ 



144 APPENDICE 

40 (10-5) P'=l(l — '^Ap. 

a \ c ' 

a) Cette dernière formule donne immédiatement un ré- 
sultat fondamental. 

Soit c la charge de l'élément de volume d'espace. 



on a 



p__ 4-e p_ 4-e' 



/ 1 / 1 / 



dxdydz dx dy dz 

de (10-5) on déduit 
e dxdydzdt = edx dy dz dt ou e = e d'après (7-4). 

La charge électrique est un invariant. 

b) Les formules (10-3', (10-4) montrent qu'un champ 
électrique et un champ magnétique n'ont pas d'existence 
absolue. Par exemple, ce qui est un pur champ magnétique 
dans un système est un champ m.ixte (électrique et magné- 
tique) dans un autre système : ceci fait comprendre l'action 
d'un champ magnétique sur une charge en mouvement, 
car, alors que dans le système de l'observateur, il existe un 
pur champ magnétique, dans le système de la charge, il 
règne un champ électrique qui agit sur elle. On retrouve 
facilement, d'après ces formules, la loi de Biot et Savart et 
la loi de l'induction, qui ne subissent aucune correction 
dans la théorie nouvelle. 

c) Appliquées aux ondes lumineuses, les formules de 
transformation permettent d'établir la théorie exacte de 
l'effet Doppler et de l'aberration de la lumière. Les 
anciennes formules ne constituent que des approximations; 
les formules exactes sont : 



RELATIVITÉ RESTREINTE 145 



(10-6) 



(10-7) 



cos^ 



1 — 


u 
C 


cos 9 


\/ 


1- 


9 

c 


cos 


S - 


- JL 
c 


1- 


V 

c 


cos 9 



V est la fréquence propre de la source et ' la fréquence 
apparente pour l'observateur. 9 est l'angle de la vitesse v 
et du rayon lumineux dans le système S de la source, 
9 est 1 angle de la vitesse v et du rayon reçu par l'obser- 
vateur. 

L'énergie lumineuse se transforme suivant la même loi 
que la fréquence. 

t V 



(10-8) W' = W 



— cos 
c 



V'-i 



On trouve enfin l'expression de la pression de la lumière 
sur un réflecteur intégral, animé de la vitesse v par rap- 
port à l'observateur. 



(10-9) p=:2^''^ "" 



V 

cos ? "^ 



8- 



A étant l'amplitude des ondes, pour l'observateur. 

10. BECQUEREL 



146 APPENDICE 

II. — Dynamique de la relativité. 

r LA MASSE EST FONCTION DE LA VITESSE. 
— Dans un système S, un point matériel est supposé en 
mouvement avec la vitesse v à l'instant t. 

Introduisons un second système S animé de la vitesse i' 
par rapport à S. Dans S , à l'instant considéré, le mobile a 
une vitesse nulle ; pendant le temps innniment court qui 
suit, nous pouvons dans le système S appliquer les équa- 
tions de la dynamique classique puisque le mobile part du 
repos dans ce système. 

Soient nio la masse initiale ou masse au repos du point 
matériel ; F.x , F^ , F^: , les composantes, mesurées par un 
observateur du S5'stème S , de la force que subit ce point ; 
nous avons 

(10-10) rrtu ~^:, = Fl , mo -^7 = Fy', m.. -~ = F^. 
df dt- df 

Pour avoir les équations de la dynamique dans le système 

S, il faut chercher comment se transforment — y:;-> ,., - 
d'- ' , ' ; dr df 

— 7^ et Fx , Fy , Fr en fonction des mesures faites dans le 
dt " 

système S. 

Adoptons la disposition d'axes habituelle, en prenant O.v 
et Ox parallèles à v. Les formules de Lorentz permettent 

de calculer — r^ • • • en fonction de v et de — -; • • •♦ 

dt - j^_ dr 

en tenant compte de ce que ; -^ ^ à I instant / considéré. 



On trouve 



dt 



(10-10 ^ = 



d'x 1 d'x d'ij 1 d'y d'z I d'z 



dt" y^ dt' dt" r dr dt" y' dv 



RELATIVITÉ RESTREINTE 147 

Pour obtenir la transformation des F. » , F^^ , F^' nous 
considérons le cas d une force électrique ; supposons que dans 
S règne un champ électrique X, Y, Z ; pour les observa- 
teurs de ce système, il s exerce sur une particule de charge 
e une force 

F;t = eX, Fy = eY Fz = eZ. 

Appliquons (10-3), en y faisant M = N = O, et re- 
marquons que e est un invariant : nous obtenons 

(10-12) f: = f„ f,' = J^f„ f:=J-f.. 

substituant dans (10-10) les valeurs de l'accélération 
(10-11) et de la force (10-12) il vient 



/^l^vl'2^ mou AT 1- mndu r^ mud'z i- 

UO-13; \--,~;=^t^, TT—Ty, — — 7=F2. 

\ y- dr X dt CL df 

Bien qu'établies dans le cas particulier de la force éice- 
trique ces équations s'appliquent à une force quelconque, 
car si une force mécanique (par exemple la tension d'un 
ressort) fait équilibre à l'action exercée par un champ 
électrique, c'est un fait sur lequel tous les observateurs 
doivent se trouver d accord. Il est donc nécessaire que les 
composantes de la force mécanique se transforment comme 
celles de la force électrique. 

On trouve ainsi une masse longitudinale — r et une 

X' 

masse transversale — ^ la masse étant définie comme coef- 
ficient d'inertie. 

Mais les équations (10-13) peuvent s'écrire: 



148 APPENDICE 

(10-14) 



di\y.dtl " di^ y^dt' " 



d_l Tmdz\ p 



sous cette forme symétrique, la restriction due au choix 
particulier des axes est levée ; les équations sont absolument 
générales. Fxdf, Fydt, ¥ zdt sont les composantes de l'impul- 
sion JG ; on a donc, en intégrant et prenant la quantité de 
mouvement nulle au repos 

(10-15) ^7=G 



mil 



la masse définie comme capacité d'impulsion est 

y. 

T L'INERTIE DE L'ÉNERGIE. — Multipliant les équa- 
tions (10-14) par dx, dy, dz et ajoutant, on obtient 

J ( ^ c' ) = d{m^) = FJx -f- Fydy + FJz = dW 

JW étant l'énergie fournie au point matériel. 
On a donc 
(10-16) mc- = W-hC^ 

La variation de masse est proportionnelle à la variation 
d'énergie cinétique. 

a) Masse de l'énergie rayonnante. — Considérons un 
train d'ondes planes tombant normalement sur une surface 
noire S. L'énergie ^W absorbée pendant le temps -/ exerce 

une pression p = -— 7 (égale à la densité de l'énergie) ; 
Sc^t 

elle communique au corps absorbant une impulsion 

-G — pb:/ — 

c 



RELATIVITÉ RESTREINTE 149 

L'énergie rayonnante W possède donc une quantité de 
mouvement G = — c'est-à-dire une masse (capacité d'im- 

pulsion) — T' On a la relation (10-16) avec une constante 
nulle. ^' 

b) Un corps qui rayonne éprouve une perte de masse 

W 

égale à la masse — ^ de l'énergie rayonnée W. — Prenons 

c" 
un cas simple : une lame plane normale à Ox rayonne par 
ses deux faces, avec la même intensité, des ondes planes se 
propageant de part et d'autre normalement à son plan. 

Dans un système de référence S par rapport auquel 
elle était immobile avant de rayonner, la source envoie, 
de part et d'autre, des quantités de mouvement électroma- 
gnétiques égales et opposées ; elle reste donc immobile. 

vvy 

Soit W une certaine quantité d'énergie rayonnée ( — de 

chaque côté), mesurée par un observateur du système S. 

Pour un second observateur S animé, par rapport à la 
source, d'une vitesse v parallèlement à Oat, l'énergie se 
transforme d'après (10-8) (où 9 = et 9 = ~). 

Cet observateur mesure 

^ 2\ c ' 

pour 1 énergie envoyée dans la direction et le sens de v et 

y- 2\ c 



d 



ans le sens oppose. 



150 APPENDICE 

La quantité de mouvement qui s'est propagée, pour S , 
dans le sens de v est 

(,0.,7) w_w:_i^^(_^) 

c c y- c 

( — v) est la vitesse de la source pour S . D'après la con- 

I ^^ 

servation de la quantité de mouvement, ^( — v) est la 

y- c" 

quantité de mouvement perdue par la lame. Comme la 
vitesse n'a pas changé, cette variation provient d'une varia- 
tion de masse de la lame 

^ pour l'observateur S 

y c" 

W . 

et — r pour l'observateur S immobile par rapport a la source. 

c" 

La lame a donc éprouvé une perte de masse au repos 

-^ précisément égale à la masse de l'énergie rayonnée. 
c" 

c) L'énergie potentielle totale d'un électron est égale à 
sa masse au repos multipliée par c'. (M. Langevin). — 
Assimilons l'électron à une sphère de rayon a possédant 
une charge superficielle e. 

L'énergie potentielle du champ électrostatique h est : 



h'dV 





RELATIVITÉ RESTREINTE 151 

Soient ' = ^ la densité superficielle de charge, p la 

4-a' 

pression de Pomcaré, nécessaire à admettre pour expliquer 
que la charge ne se dissipe pas. La pression p fait équilibre 
à la tension 2~'' résultant de la répulsion mutuelle des élé- 
ments qui composent la charge. 
On a donc 

p — Z~^ — 



Il en résulte une énergie potentielle W2 égale au pro- 
duit de p par le volume de l'électron. 

4 _ 3 1 e" 

3 6a 

L'énergie potentielle totale de l'électron au repos est 
ainsi 

(10-18) W = Wi + W-2=4-^- 

3 a 

Or la masse de l'électron est — ; on a par suite 

mc=W. c 3 a 

Généralisation. — Dans tous les cas où l'on peut calcu- 
ler l'énergie totale W d'un sj'^stème, on la trouve égale 
à me. On est donc conduit à généraliser et à donner les 
lois énoncées page 66. 

3" L'IMPULSION D'UNIVERS. — Soit d' l'élément de 

temps propre d'un point matériel ( J' = — ds\. Les dérivées 

dx dy^ dz cdt 
d-' d-' d-' d-: 



1 52 APPENDICE 

se transforment comme les composantes dx, dy, dz, cd^ 
d'un déplacement élémentaire, puisque d~ est un invariant. 
Ce sont donc les composantes d'un quadrivecteur, la vitesse 
généralisée. 

Multiplions par l'invariant mo (masse au repos) les com- 
posantes de ce quadrivecteur ; nous avons les composantes 
de l'impulsion d'Univers. 

dx 

mo — ? 

d~ 



dy 


dz 


dt 


mo~y 


mo —? 


moc 


d- 


d- 


d- 



mo 



qui s'écrivent, puisque d~ — y-dt et m — 

(10-19) m — ? m— y m — ' me. 
dt dt dt 

Les trois premières composantes (composantes d'espace) 
sont les composantes de la quantité de mouvement ; la 
quatrième (composante de temps) est l'énergie divisée 
par c. 

La conservation de la quantité de mouvement et la con- 
servation de l'énergie qui, pour un système de points ma- 
tériels isolé, s'écrivent : 

(10-20) :^G. = C^ ^Gy=^0\ -G. = C^ ^W = 0« 

se résument maintenant dans l'affirmation que la somme des 
vecteurs impulsions d Univers, somme entendue au sens 
géométrique reste constante dans un système matériel 
isolé. Elle est indépendante du système de référence, alors 
que la quantité de mouvement et l'énergie varient d un 
système de référence à un autre. Le principe de la conser- 
vation de l'impulsion d'Univers a seul un sens absolu. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 153 



RELATIVITE GENERALISEE 

Note 11. 
Les tenseurs. 

r TRANSFORMATION DU DÉPLACEMENT ÉLÉ- 
MENTAIRE. — Passons d'un système de coordonnées 
(xi, xi, x\, xj à un autre {xi,xi, x-.;, x;) rélément de ligne 
se transforme d après les quatre équations 

axi — — - dxi -\- -- dxi -h ; — dx:\ -f- — dx\. 

^Xi ^Xl ^X:i ^X, 



qu'on résume sous la forme abrégée 



(11-1) dx'.=y'^dx.. 



^ étant le même indice dans les deux membres et la som- 
mation étant faite, pour chaque indice ', en remplaçant v 
successivement par 1 , 2, 3, 4. 

2" QUADRIVECTEURS. — Tout groupe de quatre quan- 
tités A' qui se transforment suivant la même loi que les dx, 

(11.2) A''=y''^'A' 

V 

constitue un quadnvecteur ou tenseur de premier ordre conlrc- 
variant. On met l'indice en haut (sauf pour dx' qui est 
cependant contrevariantj. 



154 APPENDICE 

Tout groupe de quatre quantités B< (mdice en bas) qui se 
transforment suivant la loi 

(11-3) b:=v^b. 



constitue un quadnvecteur ou tenseur de premier ordr^ 
covariant. 

On voit facilement que 

(11-4) ^ A B. = ^ A'^B: = invariant. 

Un invariant, appelé aussi scalaire, est un tenseur 
d ordre nul. 

Remarque. — La sommation est faite par rapport à 
l'indice qui figure deux fois sous le signe — . Cet indice na 
pas de signification propre puisque dans l'expression com- 
plète d'une même composante on lui donne successivement 
les valeurs 1 , 2, 3, 4 : on l'appelle indice muet. La lettre 
qui le désigne peut être à volonté remplacée par une autre 
pourvu que la nouvelle lettre ne figure pas déjà dans le 
terme considéré. Dans la suite nous supprimerons le — ; 
il sera sous-entendu qu on doit toujours sommer par rapport 
aux indices muets, faciles à reconnaître d'après ce qui vient 
d'être dit. 

3" TENSEURS D'ORDRE SL'PÉRIEL R. — Seize gran- 
deurs qui se transforment suivant la loi 

(11-5) A'^^ = ^^-A:- (^:^ sous-entendu) 

sont les composantes d'un tenseur du second ordre contre- 
variant. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 155 

Seize grandeurs qui se transforment suivant la loi 

(11.6) a;.=^^-^;a,-, 

forment un tenseur du second ordre coourianf. 

On généralise aisément pour définir des tenseurs 
d'ordre n. Un tenseur dordre n possède 4" composantes 
(dans une multiplicité à 4 dimensions). Un tenseur qui par- 
ticipe à la fois des deux modes de transformation est dit 
mixte : il est contrevariant vis-à-vis de certains indices et 
covariant vis-à-vis des autres. 

Ex • A'^=^^— A^ 

^Xz ^X.r ^X-. 

Un tenseur tel que Ay.,7,... =^= Av;a7j... est dit symétrique 
par rapport à [J- et v. Un tenseur tel que A.... = — A-j... est 
dit symétrique gauche par rapport à 7 et ''. Un tenseur 
symétrique gauche d'ordre 2 possède six composantes 
distinctes (au signe près) ; il n'y a pas de tenseur symétrique 
gauche d'ordre supérieur à quatre (du moins dans une 
multiplicité quadridimensionnelle). 

4" MULTIPLICATION. — Si l'on multiplie deuxàdeux 
les composantes d'un tenseur d'ordre n et celles d'un tenseur 
d'ordre n , on obtient un tenseur d'ordre n-h n . 

Ex. : A,3 ' = Ti 

5" CONTRACTION. — Partant d'un tenseur mixte, on 
peut former un tenseur d'ordre inférieur de deux unités en 
égalant un indice de caractère covariant et un indice contre- 
variant. Ex. : soit A],.,^; imposons la condition ' = ", nous 
obtenons A',^ qui n'est plus que du second ordre et peut se 



156 APPENDICE 

représenter par A.. . Une multiplication suivie de contraction 
se nomme multiplication intérieure. 

6" PROCÉDÉS POUR RECONNAITRE LE CARAC- 
TÈRE TENSORIEL. — a) Lorsqu'un groupe de quantités 
A(y'V... y.p...j déterminées par n indices est tel que 

(1 1-7) AOj.v...-<.i...)B^":: =^ invariant 

pour un choix arbitraire d'un tenseur B^/'" à n indices, dont 
n covariants et n contrevariants, on peut affirmer que 
ACi^-'^-^iA..) est un tenseur contrevariant d'ordre n et 
covariant d'ordre n . 

Ex.: Si ACy.'OB^C'^ invariant, A(v-0 est un tenseur A;... 

ce résultat est encore exact si pour un quadnvecteur quel- 
conque B' le produit intérieur A(;j.v)B'B' ^= invariant, à 
condition que A(;J.^O = A(^'y-). 

5) Un groupe de quantités dont le produit intérieur 
par un quadrivecteur arbitraire est un tenseur est lui-même 
un tenseur. 

Ex.: si A(;Jv)B' est un quadrivecteur covariant, A(;^-^0 
est un tenseur covariant. 

7" TENSEURS FONDAMENTAUX. — Dans rexpression 
de l'invariant ds' 

(11-8) ds' = g,Jx,dx. 

dx, est un quadrivecteur covariant arbitraire ; donc d après 
l'une des règles précédentes g,^., qui est symétrique, est un 
tenseur covariant. C'est le tenseur covariant fondamental. 
Le tenseur contrevariant fondamental g,,., s'obtient en écri- 
vant le déterminant des g^,, formant le mineur de chacun 
des g,,, et divisant ce mineur par la valeur g du déterminant. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 157 

D'après une propriété des déterminants on a : 

(1 1-9) gx'g"' = 1 ou selon que X- = ' ou y- =7= ''. 

Posons g.x-rg ' -— ^ g[x* g[x. est \e tenseur mixte fondamental. 
Il jouit de la propriété d avoir les mêmes composantes 
(égales à 1 pour 'J- ^^ v et à pour ;->- =7= '>) dans tous les 
systèmes. 

Remarquons qu'en contractant ce tenseur nous obtenons 

(11-10) ?:: = g;+g;+g;; + g;=4. 

Remarquons aussi que gl est un opérateur de substitution, 
car 

(11-11) glA' =A' + 0-f-0 + 0. 

8" TENSEURS ASSOCIÉS. — Les trois tenseurs fon- 
damentaux permettent de transformer les tenseurs par 
multiplication intérieure, c'est-à-dire de construire de nou- 
veaux tenseurs en faisant passer à volonté un indice de 
bas en haut et inversement. Les trois tenseurs contreva- 
riant, mixte et covariant 

(11-12) A", A.l = g .y. A"" (y. est indice muet). A ,. = g. a A", 

sont dits tenseurs associés. 

Tout tenseur d'ordre pair permet de former un invariant 
appelé invariant contracté ; il suffit d'amener la moitié des 
indices en haut, la moitié en bas et de contracter complè- 
tement. 

9" LONGUEUR GÉNÉRALISÉE. CONDITION D'OR- 
THOGONALITÉ. — Dans la théorie vectorielle ordinaire 
(3 dimensions) le produit scalaire de deux vecteurs A et 
B est : 

(11-13) A.B, -h A,B, + A.B, = A,B^ 



58 . APPENDICE 



Le carré de la longueur d'un vecteur est le produit 
scalaire du vecteur par lui-même. Deux vecteurs sont ortho- 
gonaux SI AjlBjl == 0. 

Pour les quadrivecteurs, en coordonnées arbitraires, le 
scalaire 

(11-14) A .B^ = A^B, = ^^'A.B. == g^A^B 

est la généralisation du produit scalaire (1 1-13). 

Le carré de la longueur généralisée d'un quadnvecteur 
A'^^Cou Ax) est le scalaire 

(11-15) /' = A.A'^ = g-,A'A' = g'-' A A. 

et la condition d'orthogonalité de deux quadrivecteurs 
(A., B, ou A\ B') est 

(11-16) A3^=0 ou A% = 0. 
10" DENSITÉ TENSORIELLE. — Le déterminant g des 
gx, est toujours <C ; considérons \ — g ; on démontre que : 

(1 1-1 7) \ — gd^<) = invariant (J'o = dxidxidx.JxX 

En coordonnées galiléennes, gi\ = gn = ^:!:; = — 1 , 
gv ; = -f- 1 , g'x, = 0(y- 7= '0 ; \ — ^ ^^^ 1 et l'invariant 
\/ — ^ Jw = dx . dy . dz . cdt (élément d'hypervolume, voir 
note 7). 

Soit T;^^;| un tenseur, on appelle densité tensoriellc 
l'expression 

(11-18) Kj: = \ ~ t;:!::: 

On peut toujours choisir jes coordonnées de façon 
qu'en tout point-événement \ — g= 1. Ce choix simplifie 
souvent les calculs. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 159 

ir SYMBOLES DE CHRISTOFFEL. — Nous ferons 
usage des symboles 

(1 1.19)r:^--'] = i/'*&>. + ik^_ikiL- ) (pas de sommation). 

(11-20) |ThK^'] 

(sommation par rapport à l'mdice muet y). 

Les grandeurs représentées par les symboles sont nulles 
en coordonnées galiléennes (les gj,, sont constants). Ces 
symboles sont symétriques en X- et v. H faut noter que ce 
ne sont pas des tenseurs. 

12° DÉRIVÉE CO VARIANTE. — La dérivée d'un 
scalaire est un quadrivecteur covanant, mais la dérivée d'un 
quadnvecteur n'est pas un tenseur. Soit un quadrivecteur 
covanant A., on démontre que les quantités 



(11-21) a.., = ^^~]'^''\a. 



constituent un tenseur covariant, appelé dérivée cova- 
riante de A;.. 
De même 

(11-22) A;=^ + S'=''(a^ 

est la dérivée covariante du quadrivecteur A"^ contrevariant. 
Xjénéralisation. — Soit un tenseur quelconque, Ay.^., par 
exemple ; sa dérivée covariante est le tenseur : 



160 APPENDICE 

(11-23) 

La dérivée covariante remplace, dans les équations ten- 
sorielles exigées par le principe de la relativité, la dérivée 
ordinaire qui en est \a forme dégénérée, en coordonnées gali- 
léennes (car en coordonnées galiléennes les symboles de 
Christoffel sont nuls). 

Supposons qu on déplace un vecteur suivant un certain 
contour. Dans un espace euclidien et en coordonnées gali- 
léennes, la condition nécessaire et suffisante pour que le 
vecteur reste de même longueur et parallèle à lui-même 

pendant le déplacement est -^ — = ( ou ' - = 1 • Cette 

condition étant la forme dégénérée de l équation tenso- 
rielle A ,'^ = (ou A<., = 0) nous dirons que l'annulation 
de la dérivée covariante d'un quadnvecteur en tout point 
d'un contour exprime un déplacement sans variation 
absolue " (Eddington) ou un déplacement parallèle 
(Weyl) bien qu'il ne puisse, en général, être question de 
parallélisme au sens de la géométrie euclidienne. 

\T QL'ELQIKS FORMULES UTILES. — On démontre 
que 

(11-24) 
dg"- — — g'"g''dg.. et dg;. = — gy.g.idg'\ 

(11-25) A" Wg«,: == — Av-^g'"'. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE J61 

( 1 1 -26) J(log g) = - g,Jg^'^-dg,;. 

(11-27) ^y-p/ ^logV/— g . 

14" DIVERGENCE. — Dans la théorie vectorielle ordi- 
naire, on appelle divergence le scalaire 

^ 11.28) '^' + ':^« + 'lA, ^^ '}A,, 
<^x ^y <V àx,^ 

La généralisation est immédiate. Pour un quadrivecteur 
contrevariant, la divergence est la dérivée covariante conr 
tractée A:^ (scalaire). 

Introduisant la densité tensorielle, et tenant compte 
de (11-27) 

(11-29) a.j = |^\ 

La divergence d'un tenseur du second ordre est, de 
même, la dérivée covariante contractée : c'est un quadri- 
vecteur. 

a) Tenseur mixte A.[. — La divergence est A]., (•' devient 
indice muet) 

(11.30) a:;-^-+-1^"(a.;-)'"'(a; 



ou 



(11.31) ^i = ^-^~)/''Lh: 



''" ùx. I i 



expression qui, lorsque A,.- est symétrique, se simplifie 
(1 I -32) ^1-',,, = -— — — -^ .bv =3 + ^ j.^ 

I I BLCQUERtL 



162 APPENDICE 

b) Tenseur conlrevariant A-'''. — La divergence est 
A:^ ; en introduisant les densités tensorielles, on trouve 

(,,.33) A-=^+y'[,^- 

le dernier terme disparait lorsque le tenseur est S3^métrique 
gauche. 

Dans la théorie vectorielle, l annulation de la diver- 
gence d'un vecteur exprime la continuité du flux de ce 
Vecteur. Dans la théorie de l'univers quadridimensionnel, 
ou intervient une coordonnée de temps, l annulation d une 
divergence est la condition la plus générale de conser- 
vation ou de permanence d'un quadrivecteur ou d un 
tenseur. 

15 LE TENSEUR DE RIEMANN - CHRISTOFFEL. — 

La dérivée covariante du tenseur g,., est identiquement 
nulle. On peut cependant former un tenseur par différen- 
ciation à partir du tenseur fondamental seul. 

Formons la dérivée seconde covariante A^t d un vecteur 
arbitraire A., puis le tenseur Ax t — Ax/t, le calcul donne 

A.., — A... = R,LA.. 



(11-3' 


4) 


K. = 


"it^iz^ KW?^ >v,b^ ^xA?S 



Puisque A. est arbitraire et que Aivt — Ait- est un 
tenseur, la dernière des règles indiquées (n" 6) montre que 
Ri,, est un tenseur. // n est constitué que par les g^i.-. et 
leurs dérivées ; c'est un tenseur d'Univers. 

Le tenseur contracté est 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 163 

(11-35) 

(p et î sont des indices muets) 
qu'on peut écrire, en utilisant (1 1-27) 



(11-36) 








52logv/-g 




(^Xadxv 



Les deux derniers termes disp arais sent si Ton choisit les 
coordonnées de manière que v — a = 1 . 

Enfin, en multipliant par g'' on forme l'invariant con- 
tracté 

(11-37) R = ^^'R,. 

qu'on démontre être une généralisation de la courbure de 
Gauss. 

Note 12. 
Gravitation et dynamique. 

r LOI DE LA GRAVITATION DANS LE VIDE. — Si 
l'Univers est euclidien, et si l'on prend des coordonnées 
galiléennes, toutes les composantes de R;,, s'annulent car 
tous les symboles de Christoffel sont nuls. Mais alors ces 
composantes s annulent aussi dans tout autre système de 
coordonnées (propriété fondamentale des tenseurs, les 
équations de transformation des composantes étant linéaires 
et homogènes). L'annulation du tenseur de Riemann- 
Christofïel est donc une condition nécessaire pour que 
l'Univers soit euclidien. On démontre que cette condition 
est suffisante. 



164 APPENDICE 

SI l'on admet que l'Univers est euclidien à distance 
infinie de toute matière, la loi de la gravitation dans le 
vide est nécessairement R^ = (voir chap. x). 

Mais si l'Univers est courbe dans son ensemble et si 
1 espace est fini, il n est plus nécessaire de conserver 
R,^.,^ = comme solution limite, et la covariance est 
respectée si l'on pose 

(12-1) r;. = R;o— Aj?,-=o 

A étant une constante universelle certainement très petite. 
Pour le moment nous supposerons /• ^= 0. 

R,. est la seule expression générale d'un tenseur du 
second ordre, fonction seulement des g, - et de leurs dérivées, 
ne contenant pas de dérivées d'ordre ^ 2 et linéaire par 
rapport aux dérivées secondes. 

T THÉORÈME FONDAMENTAL. - La divergence 
du tenseur 

2 

est identiquement nulle, ce qu'on peut écrire 

(12-2) ^'^' = V^' 

2 ^x. 

Ces quatre identités (v- ^^^ 1 , 2, 3, 4) sont celles qui 
réduisent à 6 le nombre des conditions exprimant la loi de 
la gravitation dans le vide (Ch. X, p. 108). 

y ÉQUATIONS DES GÉODÉSIQL'ES. Soit A^ le 

vecteur contrevariant • i5a dérivée covariante est 

ds 

(12-3) a:=-' ('';m4 j="^H^- 

OXf>. \ds / ( :i ) ds 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 165 

Multiplions par A' = — - nous obtenons 

ds 

(12-4) A-K = '^r^ + V"VT~- 

as ' ^ ; os as 

Le premier membre étant un tenseur, il en est de même 
du second. Ce tenseur s'annule en coordonnées galiléennes 

pour tous les points d une géodésique car alors — 7 — et 

\ ' / = ; par suite l'annulation de ce tenseur représente 

les équations d'une géodésique dans un Univers euclidien 
quelles que soient les coordonnées. 

D'après le principe d'équivalence, il en est de même 
dans un champ de gravitation permanent. L'équation géné- 
rale est donc 

ds ^ ) as ds 

(4 équations: ^ == 1 , 2, 3, 4). 

Il est à remarquer que le principe d'équivalence n'est 
autre chose que l'affirmation de l'existence d'un Univers 
tangent. Il résulte de là qu'il y a nécessairement équivalence 
entre un champ de force géométrique dans un Univers 
euclidien et un champ de gravitation permanent pour les 
lois qui ne font intervenir que les gy, et leurs dérivées 
premières, mais qu il n y a plus nécessairement équivalence* 
pour les lois faisant intervenir les dérivées des g-^, d'un 
ordre supérieur au premier. 

4" LOI DE LA GRAVITATION DANS LA MATILRK. 
— Les équations'j R^.. ^= 0, qui expriment la loi [dans le 



166 APPENDICE 

Vide, remplacent l'équation de Laplace 

AQ = (-^=-^H---^H-— 2) -- potentiel newtonlen. 

Il s'agit maintenant de trouver l'équation qui doit rem- 
placer l'équation de Poisson 

AtJ = 4~G,' (,- densité, G const. de la gravit, newtj. 

La densité est l'énergie par unité de volume divisée 
par c . Or l'impulsion-énergie trouve son expression la 
plus générale dans un tenseur qui précisément se réduit 
à p dans le cas de la matière au repos, en coordonnées 
galiléennes. C'est ce tenseur qui doit remplacer p. 

a) Le tenseur impulsion-énergie. — Les trois tenseurs 
d impulsion-énergie associés ont pour expressions 

(12-6) T" = p,^^ 

as as 

(Po densité au repos ou densité propre) 

(12-7) T:=g:„T" = §„?„^^' 

as as 

( 1 2-8) T,, = g„g..,T" = g„g,.;„ ^ ^' 

as as 

T" et T j. sont symétriques. En coordonnées galiléennes 

xi, x.>, X:'., X, = c/, les composantes de T.l sont les suivantes. 

1111 



c' 


?v:, 


C 


c" 


c 


1 

c" 


pl^x.l^x, 


1 2 

C 


- PUx.O.;, 
C 


1 

— pVx., 
C 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 167 

(12-9) I I 1.1 

c ' c ' ' c ' c ' 

1 I I 

— .'Dx, — ?l^x. — PVy,, p 

C ce 

t^ï.» Vx , Vx. sont les composantes de la vitesse t' de la 
matière au point xi, xi x.-., ,' est sa densité, égale à 

b) La loi de conservation de l' impulsion-énergie. — En 
coordonnées galiléennes l'expression de la loi de conserva- 
tion s écrit 

AT"' / 

(12-10) —^ =^- (v indice muet). 

Ces quatre équations (y- = 1, 2, 3, 4) ne sont autres 
que les équations bien connues de l hydrodynamique en 
l'absence d'un champ de force et dans les milieux dépour- 
vus de frottement. 

Nous remarquons que l'équation (12-10) est la forme 
dégénérée de l'équation tensorielle 

(12-11) T,:. = o. 

Cette équation tensorielle est donc l'expression générale 
de la loi, dans un Univers non euclidien. Nous avons d'ail- 
leurs déjà dit que l'annulation de la divergence exprime la 
conservation. 

cj La loi d'Einstein. — Du fait que les tenseurs T^ et 

V 1 ' . 

Ri — — glR ont tous deux une divergence nulle, il ne 
2 j 



168 APPENDICE 

résulte pas forcément que ces tenseurs sont égaux (à un 
facteur constant près). Cependant si, avec M. Eddington, 
nous posons en principe que tout tenseur physique est 
l'aspect sous lequel nous apparaît un tenseur géométrique 
d Univers, et si nous considérons la loi de conservation de 
1 impulsion-énergie comme une loi expérimentalement établie 
et rigoureuse, Tl doit être identifié avec un tenseur con- 
servatif : comme le plus simple des tenseurs conservatifs est 

R'i ^^IR. nous sommes conduits à écrire 



(12-12) r; - ^ a;R = - xt: 



V. constante universelle 

quitte à vérifier ensuite par l'expérience les conséquences 
de cette loi. 

C est la loi d'Einstein, mais Einstein a suivi pour l'établir 
une marche différente. Il a mis R^- = sous la forme des 
équations classiques de Lagrange, a reconnu que certaines 
quantités /,, (au nombre de seize, mais en formant pas un ten- 
seur) représentent une forme d'énergie, l'énergie de gravi- 
tation, et a ajouté simplement le tenseur impulsion-énergie T 
à l'énergie de gravitation (11 a remplacé i\ par i\~^T'^. 
11 a ainsi obtenu la loi précédente. Cette loi Impose la 
conservation de l'impulsion-énergie car, la divergence du 
premier membre étant identiquement nulle, la divergence du 
second membre est nulle. 

Cette loi se déduit aussi du principe d'action station- 
naire (méthode de MM. Hilbert et Lorentz). 

La loi de la gravitation peut encore se mettre sous 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 169 

d'autres formes 

(12-13) R,—^g,.R=:-y.T,„ 

Multiplions par g^'' ; remarquant que g:^,g''''^^4 (1 1-10), 
nous obtenons 

(12-14) R = y.T = •/-;„ (T = g-'T,) 

car on voit facilement, d'après (12-9), que 

(12-15) 

T = g-T,., = T;=:T\-^Tl-\-Ti-i-Tl = yS = c, 

valeur indépendante du système de coordonnées, puisque 
c'est un scalaire. 

Remplaçant, dans (12-13), R par "/-T, la loi s'écrit 



(12-16) |r,.. = — /.(T,.-^g,,T) 



S'' LES ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. — 
En mécanique classique, les quatre équations de l'hydrodyna- 
mique dans un champ de force peuvent se mettre sous la 
forme suivante, où pF.r,... sont les composantes de la force 
«exerçant sur l'unité de volume. 

(12-17) 5Î;=3-(-Lf,,. -•> F,.. A-F„. 0) 

*\r \ c c c 

f-n coordonnées galiléennes. En réalité il n y a plus de 
telles coordonnées, mais c'est un fait dont on ne tient pas 
( ompte. 

Les équations rigoureuses sont les équations T., ^^^ 0, 
qui s'écrivent d'après (1 1-31) 



70 APPENDICE 



m' 



:jy 



/: 



(12-18) ~^=]'''[^ ^^^t:\/-^ 

(densité tensorielle). 

Ce sont les quatre conditions ('/ = 1 , 2, 3, 4) auxquelles 
la matière doit satisfaire ; elles déterminent l'impulsion et 
1 énergie communiquées à la matière par le champ de force. 

Pour les comparer aux équations anciennes, comme en 
pratique 1 Univers est presque euclidien et que les vitesses 
sont faibles, nous pouvons prendre des coordonnées très 
voisines des coordonnées galiéennes, les choisir de manière 

que \ — ^ -— 1 et admettre que T,' se réduit à T; : nous 
obtenons l'approximation faite en mécanique ordinaire 

(12-19) ^ = j:^4j _^y.4^ 

Les forces. — Comparant (12-19) et (12-17) nous 

voyons que les trois sj^mboles < h ' r \ j : multiplies 

M ) ( 4 ) ( 4 ) 

par — c' sont les composantes de la force principale, la 

force d'inertie de la mécanique qui produit une action 

proportionnelle à l'énergie (masse) ; la mécanique newto- 

, ,. '.Il- " f ♦' \ y-^v 

nienne néglige en gênerai les autres rorces ■ ^ qui sont 

liées aux autres composantes du tenseur T,l c est-à-dire aux 
quantités de mouvement et aux tensions internes. 

Nous pouvons aussi écrire T'^, sous la forme (11-32), 

et faire \ — g =^ 1 nous obtenons, en première appro- 
ximation 

ÔT' 1 '^s- 

(12-20) . =T'^. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 171 

De sorte que 

F.„ F,.. F, ---^-('^«i^, ^s ^). 

2 <^Xi ^Xi ^X^ ' 

Si -- est le potentiel au sens de la mécanique classique, 

on a 

■j 

2 

et 81, à l'infini — = et ^■,. = 1 (valeur galiléenne) 

(12-21) g,,.= | + 2^. 

C 

6" LA LOI DU MOUVEMENT DU POINT MATÉRIEL 
LIBRE EST CONTENUE DANS LA LOI DE LA GRAVI- 
TATION. — Si l'on adopte des coordonnées devenant 
galiléennes à 1 infini, on trouve aisément que les équations 
des géodésiques se réduisent en première approximation aux 
équations du mouvement de la vieille mécanique, et l'on 
obtient en même temps (12-21), relation que nous venons 
de déduire de la loi de conservation, c est-à-dire de la loi 
de la gravitation qui implique la conservation du tenseur Tl. 

Ce résultat laisse penser qu il ny a pas indépendance 
entre la loi de la gravitation et la loi suivant laquelle un 
mobile libre a pour ligne d univers une géodésique. On 
peut le voir de différentes manières : voici une démonstra- 
tion due à M. Jacques Rossignol. 

Prenons des coordonnées telles que \ --^=1, on a 

j — ^;^ 1 „ ^ j'i — 

■" <\r- 2 ^x.. 



172 APPENDICE 

explicitant Tl et T"', on obtient 

Ji_ / 4^ 4^- \ -4- ^ -^ '-' N 4^ 4^ n 

^x. ^ ds ds { '^ ' ds ds 

Développant le premier terme, posant u"^ — — -^^ 
et multipliant par u- on trouve "^ 






-j- = ou Por^ = 

dx, ^x- 



qui 1 " exprime la conservation de la masse ; 2° réduit 1 ex- 
pression précédente a l'équation des géodésiques. Levant la 

restriction \ — g = 1 — = devient — {uy — g ) = 0, 

et l'équation des géodésiques ne change pas, car le 1 '^'^membre 
de cette équation est un tenseur. 

On voit, par les résultats qui précèdent, que la loi 
d'Einstein confient toute la dynamique. 

T LA LOI DE NEWTON. — Prenant, dans un champ 
statique, des coordonnées très voisines de coordonnées 
galiléennes et devenant galiléennes à l'infini, négligeant 
toutes les quantités très petites, réduisant T,., à T..^=,-, 
confondant T,, = p et T = .-,,, tenant compte enfin de 
(12-21). on trouve que la formule (12-16) se réduit en 
première approximation à l'équation de Poisson 







AQ 


— 


4rpG. 


avec 


la relation 








n 


2-22) •/. 


_8:lG 

2 

c 


rzz 


1.87. 


8'^ 


PROPAGATION 


DE 


LA 



' unité r. G. S. 
GRAVITATION. - 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 173 

Dans un champ non statique, au !ieu de l'équation de Pois- 
son on obtient (après calculs compliqués) 

Cl 2-23) - - - ^^ - - + -., h„ = 2R,,. 

Les /ï .V étant les différences, supposées très petites, entre 
les valeurs des gj.^ et les valeurs constantes galiléennes. 
Dans le vide R.iv^=0 et l'équation (12-23) exprime que 
les perturbations gravifiques se propagent avec la vitesse 
de la lumière (car a, = et). 

Note 13. 
Le champ pe grwitation d'un centre matlriei,. 

1 ' EXPRESSION DE ds'. — Dans un Univers euclidien. 
SI l'on prend des coordonnées polaires 

l'intervalle élémentaire est 

ds' — — dr (r'dH' H- r- sin' hdr) + cdr. 

élément d arc de sphère. 

Dans le champ de gravitation qui règne autour d'un 
centre matériel, il n'y a plus de coordonnées euclidiennes, 
mais on peut, prenant la particule pour origine des coor- 
données, essayer de mettre ds' sous une forme analogue, 
quitte à chercher ensuite la signification des coordonnées. 
Nous voyons d'abord que pour que le résultat ait une 
signification physique, il faudra choisir des coordonnées 
telles que les notions d'espace et de temps soient conser- 
vées ; il résulte de là qu'il ne faut pas introduire de termes 
en drd^i, etc., drdf, etc., à cause de la symétrie dans 
l'espace " de la particule et de son champ, et de la symé- 



174 APPENDICE 

trie dans le temps " de son histoire passée et future, 
suivant l'expression de M. Eddington. Posons donc : 

Js' = — e'd/ — ir'd^' -\- r' sin" ^^c/f ') + e'dx] dx = cdt. 

On réussit effectivement à déterminer /> et v (qui sont 
des fonctions de r et non de 0, 9, / et doivent s'annuler à 
l'infini) de manière que la loi d'Einstein Rtt ^= soit 
satisfaite. 



On 



a 



gii e, gii — — r, g:!:>. — — r" sin" 0, g,, — e' 

g — — e r sin 'K 

Il faut écrire les équations Rtt = (qui se réduisent 
icik R,,=0, R... — 0, R:.,. = 0. R,v = 0) en explicitant 
tous les symboles de Christofîel. On arrive, après des 
calculs assez pénibles, au résultat suivant (résultat rigoureux) , 
établi par M. Schwarzschild. 

(13-1) ds'^-~~df — fd^f — r-.sin- J9'^ -f- -cdC 

_ , 2GM 

avec V — I 7, — 

cr 

(G constante de la gravitation newtonienne). 

1. L'objection faite récemment par M. Painlevé (C. R. de l'Ac. des Se.) 
contre les canclusion^ qu'on peut déJuire de la formule d'Emrtein-Scnwarzjchild 
n'est pa'^ justifiée. M. Painlevé a employé d'autres coordonnées et a. naturellement, 
trouvé une autre expression exacte de ds' . Mais si le mathcmalicien con:idere a 
son point de vue toutes les coordonnées comme équivalentes, il n'en e-t pas de 
même du physicien lorsque celui-ci a besoin d'interpréter les résultats, car le choix 
des crordonnées peut alors se trouver imposé par la nature des grandeurs qui 
interviennent dans les mesures expérimentales. Or le résultat de M. l'ainlevc ne 
saurait être interprété physiquement parce que sa formule contient un terme en 
drdt incompatible avec la symétrie dans le temps, et que par suite les coordonnées 
employées n'ont plus de sens au point de vue de ce que nous appelons ' distance 
et " temps ". Les conclusions physiques de M. Painlevé sont, pour celle raison, 
complètement inexactes. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 175 

M est une constante d'intégration qu'on identifie avec 
la masse de la particule, car d'après 

(12-21) iJ = — ^• 

r 

Cherchons maintenant la signification des coordonnées : 

a) Le temps. — En un point fixe par rapport au centre 
matériel (t/r = 0, JO = 0, Jf = 0) l'intervalle de temps 
mesuré entre deux événements infiniment rapprochés est 

(13-2) d-^— = \~:dt. 

c 

Comme \ V ^= 1 pour r = ^ , on voit que la coordon- 
née l est le temps à distance infinie de la particule, dans 
un système lié k la particule. 

b) L'espace. — Le terme d'espace représentant le carré 
de la distance de deux points infiniment voisins est 

( 1 3.3) J/-' =: 1 J;.^ -4- r'd^' H- r- sin'- Js". 

L'espace n'est pas euclidien, cependant il s'en faut de 
peu car V est très voisin de 1 . Transversalement \dr = 0) 
1 expression de dl' est la même que celle d'un arc de sphère 
en géométrie euclidienne (r rayon vecteur, ^ angle de ce 
rayon avec un axe fixe, 9 angle azimuthal). Radialement 

yd^ = 0, d'^^^ 0) on a Jr = \ ';dl. On voit que les 
longueurs mesurées transversalement (une circonférence, 
par exemple, ayant pour centre la particule) sont les 
mêmes que si l'espace était euclidien, mais qu'il en est 
autrement pour les longueurs mesurées radialement (le 
diamètre de la circonférence), les mesures étant faites dans 
les deux cas avec la même rède très courte dl. Il résulte 



176 APPENDICE 

de là que le rapport de la circonférence au diamètre est 
légèrement inférieur à ", mais l'écart est faible : si une 
masse de 1 tonne était à l'intérieur d'un cercle de 5 mètres 
de rayon, c'est seulement la 24' décimale qui serait changée 
(M. Eddington). 

Pratiquement, r et / sont la distance " et ' le temps ". 

2" MOUVEMENT DES PLANÈTES- — Supposant la 

Vitesse initiale dans le plan ^^ ^^ ^ c'est-à-dire posant 

/f) 
initialement cos =^ et -— = 0, il suffit de transporter, 

as 

dans l'équation générale des géodésiques, les valeurs des sym- 
boles de Christoffel trouvées dans le calcul de df, pour obtenir 

Cl) — — = 0, qui prouve que la trajectoire reste dans le 
ds' 

plan ^^ ==^ — : • 

2 

/)) Les équations du mouvement suivantes : 

(13-5)' +2^ + 2^i:, 

c r c r' 

r' — - = h (K,/i constantes d'intégration). 

\ as 

au heu des équations newtoniennes 

\Jtl \Jt/^ a r 

r.r^^^h^, Ça demi grand axe de l'orbite), 

ut 



(13-6) 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 177 

, I' • 2GM h' .j 
a part le terme supplémentaire — -, —' on peut iden- 
tifier (13-5) et (13-6) en posant K" = 1 

a 

Le terme supplémentaire entraine un déplacement du 
périhélie. 

On trouve pour ce déplacement, en fraction de tour par 
période, 

(l3-7) -—; — " — ^ (e excentricité). 

c'a(1 — e'J 

y PROPAGATION DE LA LUMIÈRE. — Faisant 
ds ^= 0, on obtient pour le mouvement dans le plan =:== — • 

<"« -7ll)'-^('f)'=-' 

propagation radiale (13-9) T"^^ '^ 

dt 

propagation transversale (13-10) r — '- = \ V c. 

dt 

Pour un rayon venant de Tinfini et parvenu à 1 infini 

après être passé à la distance minimum R du centre, on 

trouve pour la déviation (angle des asymptotes de la tra- 

. . N 4GM 
jectoirej —r^ ' 
c K 

4" RALENTISSEMENT DL TEMPS. — Soient deux 

événements infiniment voisins se produisant au même point 

du champ de gravitation (c/r = 0, d^^ = 0, c/'f = 0) ; 

12. B£CQU£R£.L 



i78 APPENDICE 

(13-1) se réduit à 

(13-11) d- = ^ = \-;dt 

dt 

dt est l'intervalle de temps mesuré, entre les deux évé- 
nements considérés, par un observateur lié au centre 
matériel mais situé très loin, pratiquement en dehors du 
champ. D'autre part l'intervalle de temps propre entre les 
deux événements est d~ qui est <C dt. Considérons deux 
horloges identiques A et B placées d'abord à côté l'une 
de l'autre très loin du centre et marquant la même heure, 
toutes deux mesurent t. Transportons l'horloge A à la 

distance r du centre ; elle va mesurer j d' <C j dt ; elle 

va donc marcher plus lentement et si on la ramène près de 
l'horloge B, elle aura pris du retard sur cette dernière. 

Déplacement des raies spectrales. — Soit ^s 1 intervalle, 
indépendant du champ de gravitation, entre deux phases 
égales de 1 émission. L'observateur terrestre, qui est en un 
point où le champ est négligeable, mesure 

(13-12) S^=^ = -il: 



SI la source est sur le soleil. Mais si la même source est sur 
la terre, il mesure ^". Or ^t !> $' donc les raies du spectre 
solaire (et des spectres stellaires) doivent être légèrement 
déplacées vers le rouge. 

Note 14. 
Les lois générales de l'électromagnétisme. 

1" GÉNÉRALISATION DES ÉQUATIONS DE MAX- 
XX^ELL. — Dans la théorie ordinaire (Univers euclidien et 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 179 

coordonnées galiléennes) on a les équations de Maxwell- 
Lorentz (note 10). Nous allons chercher la forme fenso- 
rielle générale dont elles sont une forme dégénérée. 

Soient Gi, Gl>, G:; les composantes du potentiel vecteur 
(unités électromagnétiques) et 'y le potentiel scalaire (uni- 
tés électrostatiques) de la théorie habituelle. En vue de la 
généralisation, posons 

(14-1))"^^^' ^ ''^^^ ^ "" = "' ^ "•=^^! 

On a, avec cette notation (formules connues) 
(14-2) X = ^-~^' L=^'î^-^ 

etc.. 

Ecrivons maintenant les équations de Maxwell-Lorentz 
(note 10) en désignant par u, V, w les composantes de la 
densité de courant (imités électromagnétiques) et P la den- 
sité de charge (unités électrostatiques), (l'unité de charge 
étant choisie de façon que le facteur 4"^ disparaisse). Nous 
avons 



(14-3) 



'^H 


^.^z,.__ 


ôY 


— 


àx'. 


àx. 


5X3 




ôM , 


.^x . 


5Z 


— 


^x-. 


5.3 


5X1 


\J 


i)N 


ôY 


5X 





^x, 


ôx. 


5x2 


ôL 


. ÔM. 


5N 


— 



5x. 



Xi «-'Xa «-'Xs 



80 



^X 


APPENDICE 


^Y 


<>X2 ^Xi 




^X:^ (>Xi 


^x, 

^X 


^Al ^X2 

^ ^y ^ ^z 



Ur 



(H-4) 

= w 

'v ^;ci ^X2 ^x.i 

Soit maintenant un quadrivecteur covanant t;* (arbitraire 
pour le moment) nous pouvons former sa dérivée covariante 
9;x-, la différence 

(14-5) .,„-,, = ^--^ = F.., 

Ox. ^X^^ 

est un tenseur symétrique gauche, et d'après sa formation, 
nous avons les identités : 



(14-6) ^^^ + -^^ + ^^^^0. 



t-'A, <^'Ax ^X, 



Puisque Fj ., étant symétrique gauche, n a que 6 com- 
posantes distinctes, au signe près, posons : 

Fr, = — Fvi = X F... = — Fs, = L 

F,; =: — F.. = Y F.i = — Fi:. = M 

F,, = - F;. = Z F.. = — F.i = N 

puis donnons k '/, '', ~ les valeurs suivantes 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 181 

:a.v.7 = 2.3.4; ;;,v,7 = 3.4, 1; v,v.7 = 4. 1,2; 

:^v,7=l.2,3 

les Identités (14-6) se trouvent être précisément les for- 
mules (14-3). De plus, les composantes du champ élec- 
tromcignétique sont formées à partir du potentiel vecteur 
(changé de signe) et du potentiel scalaire (éq. 14-2) 
exactement comme les composantes de F,., sont formées à 
partir de ^■j. (l4-5). 

Nous pouvons donc interpréter le premier groupe de 
Maxwell : les composantes du champ électromagnétique 
constituent un tenseur symétrique gauche 



(14-7) 



formé à partir d'un quadrioecteur potentiel i-,. dont les com- 
posantes d'espace (changées de signe) sont les compo- 
santes du potentiel vecteur et dont la composante de 
temps est le potentiel scalaire de la théorie ordinaire. 

On peut vérifier, en transformant les composantes du 
tableau (14-7} suivant la loi de transformation des compo- 
santes d'un tenseur covariant, et en passant d'un système 
galiléen à un autre système gahléen, qu'on trouve bien les 
forces électrique et magnétique du second système telles 
qu on les obtient en relativité restreinte. Les forces élec- 
trique et magnétique constituent donc bien un tenseur. 

Le tenseur contrevariant associé F*' permet d'exprimer 
le second groupe de Maxwell (14-4); ce groupe s'écrit, 
en effet. 



F,.= 


= O N 


-M 


X 


-' 


-N O 


L 


Y 




M — L 


O 


Z 




— X — Y 


— Z 


O 



182 APPENDICE 



<^Xî <^X>. ^X; 



(14-8) 



^Afl ^Xa ^X; 

5pni ^p^2 ^p.4 

1 I :;^^ 

^Xi ^X2 ^X', 

^F'' , ^F'' , ^F" 

*^.ri ^A-j *V:{ 



u; 



==] 



ou — — U, V, w, 1'* 






ce qui prouve que i/. V, u), F* sont les composantes d'un 

quadnvecteur ccntrevanant J' car est la forme 

^x, 

dégénérée de la divergence F:^ qui est un quadrivecteur 
contrevariant. 

Le quadrivecteur J*^ est le courant. Ses composantes 
d espace constituent le courant de convection et sa compo- 
sante de temps est la densité de charge. 

En résumé les équations de Maxwell s'écrivent 



(14-9) 



^X. ^^Xk 

r>F "' 



c\r, 



=y 



La première équation est sous la forme requise par le 
principe de relativité; la seconde est la forme dégénérée 
de F:^' = J'^. Les équations générales valables dans un 
Univers euclidien en coordonnées arbitraires, valables aussi 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 183 

dans un Univers non euclidien par application du principe 
d'équivalence, sont 

y P __ ^?> ^ 

(14-10) X '' ^x. ^X; 



) 

[ F;' = ?. 



2" LOI DE LA CONSERVATION DE L'ÉLECTRI- 
CITÉ. — La dernière de ces équations s'écrit d après 
(11-33), F" étant symétrique gauche. 



.^^■'r=^ 



^'Xv 



d'où l'on tire 



^Xj. ^'^Xj.^X, 



car '*"'"' étant symétrique gauche, ^^ — ;- — — 0. On a 

donc j: = (d'après 1 1-29). ^'^•^''^' 

en coordonnées galiléennes, cette équation devient 

(,4.,l) ^^^ + J^ + ±^' = 

^x ^y '^z c ^t 

semblable à l'équation de continuité de l'hydrodynamique, 
elle exprime la conservation de l'électricité. 

3" LE TENSEUR D'ÉNERGIE ÉLECTROM ACNÉ- 
TIQUE ET LA LOI GÉNÉRALE DE CONSERVATION 
DE L'IMPULSION-ÉNERGIE. — Par application et géné- 
ralisation tensorielle des expressions qui donnent les com- 
posantes de la force mécanique s'exerçant sur 1 unité de 
volume contenant charges et courants, ainsi que le travail 
accompli par le courant dans l'unité de temps, on démontre 



184 APPENDICE 

qu'il existe un tenseur d énergie 

(14-12) e; = -^ ( - F,,F- + 1 g;F.,F" ) 



C 



4 



dont la variation compense la variation du tenseur ma- 
tériel 

(14-13) E:,-hT:,=o 

ce qui exprime la loi générale de conservation de l'impul- 
sion-énergie. Dans l'expression de la loi de la gravitation, 
E.l s ajoute à Tl. 

Mais 1 énergie électromagnétique ne modifie pas la 
courbure totale R car l'invariant contracté E = Ei; est nul. 
La courbure R est toujours égale à xT = xp„. C'est là 
un fait capital qui montre que la matière ne peut pas être 
formée uniquement à partir du tenseur El, ce tenseur ne 
contribuant pas à la constitution de la densité matérielle. 

Note 15. 
La courbure de l'espace et du iemps. 

1" LA COURBURE NON NULLE DANS LE VIDE. 
— C est précisément le fait que l'énergie électromagnétique 
n influe pas sur la courbure totale qui nécessite une modi- 
fication de la loi de gravitation admise jusqu'ici. 

Toutes les équations où intervient la densité de la 
matière sont des équations macroscopiques car la matière 
est supposée continue. Si nous voulons écrire les équations 
microscopiques, nous devons faire disparaître le tenseur 
matériel T, (qui correspond à l'aspect macroscopique de 
la matièrej et ne conserver que le tenseur El qui sera 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 185 

alors le tenseur exprimant l'énergie du champ des électrons. 
D'après la loi (12-12) la formule microscopique serait, 
en tout point 

(15-1) R,.- -i-glR = -■/.£;. 

L'invariant contracté E,! étant nul, celui du premier 

membre R' — — ^i R = — R devrait aussi être nul, 

2 ■ 

en tout point; alors, dans la matière, la valeur moyenne de 
R serait nulle elle aussi, et comme cette valeur moyenne 
est égale à x},^ il n'y aurait pas de matière ; résultat absurde. 
Il faut donc remplacer (15-1) par une formule dans 
laquelle le scalaire du premier membre soit nul. On n'a 
pas le choix, il faut écrire 

(15-2) r_1^.r^_,E;. 

4 

cette équation exprime la loi de la gravitation, E., étant 
le tenseur d'énergie du champ électromagnétique des 
électrons. 

Si l'on forme la divergence des deux membres de (1 5-2), 
on trouve la relation 

(15-3) -L -^ = - ^- F..r. 

4 àx-, c 

Partout où y = c'est-à-dire en dehors des lignes 
d Univers des électrons, la courbure totale est constante ; 
cette courbure est donc la même dans le vide et aux points 
où se trouve de l'énergie libre (énergie rayonnante.) Mais 
la courbure dans le vide n'est pas nulle car R = dans 
le vide, où E'= 0, entraînerait R',= (ou R>v = 0) 



186 APPENDICE 

et par suite la loi (12-12) seule compatible avec R;^, ^= 
dans le vide ; on retomberait sur la loi qu'il faut préci- 
sément modifier. 

D'après (15-2) la loi dans le vide s'écrit 

4 5- 

ou en appelant Ri, la courbure dans le vide et posant 

Ro = 4>« 

(15-4) R:v = R,. — X^,.==0 

avec / -/-O mais très petit, 
loi déjà indiquée note 12. 

La loi macroscopique de la matière considérée comme 
continue s obtient immédiatement en remplaçant dans toute 
la théorie précédemment donnée R^^ par R 1 et R par 

R' = R — 4À = R — R„. 

La divergence de R '., g',R. est identiquement 

nulle, et ce tenseur doit être identifié avec Tl pour satisfaire 
la loi de conservation. La loi de gravitation dans la matière 
devient 

(15-5) r;. == R:„ - ).g,. = - ■/. ( T,, - -L g^.,T ) 

et la densité (au repos ) est (R ^ R„) ( au lieu de - - R ) ■ 

y. ^ 7. ' 

2" L'ESPACE FERMÉ. — Cherchons maintenant quel 
peut être l'aspect ultra-macroscopique ou cosmique de 
l'Univers, en accord avec la loi (15-5). Prenant comme 
unité de volume un espace suffisamment grand (par ex. : 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 187 

1 000 parsecs-cubes), soit p la densité moyenne de la 
matière, densité que nous supposerons constante. Nous 
pouvons, dans cet aspect d ensemble, ne tenir compte que 
de la distribution générale de la matière, et faire abstrac- 
tion des irrégularités locales. 

Les vitesses relatives des astres étant toujours très petites 
par rapport à la vitesse de la lumière, nous pouvons envi- 
sager un système de référence dans lequel la matière est 
en moyenne, au repos. T;^/ se réduit sensiblement à 

Les équations (15-5) s'écrivent: 



v = 4 



Prenant la position de l'observateur comme origine des 
coordonnées et adoptant des coordonnées sphériques, ces 
équations comportent deux solutions, dans chacune des- 
quelles la coupe à temps constant est un espace a courbure 
constante positive. 

3" L'UNIVERS D'EINSTEIN. — Soit U le rayon de 
courbure. La solution d'Einstein est : 

■ (15-7) 

avec 

(15-8) v,: = 2>. >.= !. 




188 



APPENDICE 



/ est un temps d'Univers absolu. L espace et le temps sont 
séparés. 

Le terme d'espace est 

df- = U-[^/- + sln- vidh' -f- sin' Jç-)] 

extension, avec une dimension de plus (coordonnée ^) de 
l'élément de ligne sur la surface d'une sphère ordinaire 

(fig. 17). 

t//" = U"| d'/' -4- sm" yd^i'] (0 angle azimuthal). 

L'espace à courbure constante positive a deux formes 

possibles, r espace sphé- 
rique de Rieniann et 
/ espace elliptique de 
JSlewcomb. Adoptant 
l'hypothèse de l'espace 
sphérique, dont le vo- 
lume total est 2~"U , 
la masse M totale de 
la matière mondiale 
serait M == 2--U'c, 
d'où l'on déduit, d'a- 
près (13-8) 

(13-9) U=-^M. 
4-" 




Fig 17 



Le rajon d'Univers serait déterminé par la quantité to- 
tale de matière. Comme ce rayon n est sans doute pas 
inférieur à 10"' cm., ce résultat nécessite 1 existence de 
quantités de matière considérablement supérieures à celles 
que nous connaissons. 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 189 

4" L'UNIVERS DE DE SITTER. — La seconde solu- 
tion de (1 5-6) est 

03-10) 
Js' — — Ui cly; -T- sin" '/id'r ~h sin" Ot/f) | -}- c' cos"' "/(/f. 



avec 



(15-11) ;=0 ■>. = ^,- 

Cet Univers est profondément différent de celui d'Eins- 
tein. g,•^. étant égal à cos'"/ (au lieu de la constante 1) 
l'espace et le temps restent unis, et il y a une courbure du 
temps. 

De plus .- ^^ montre que la courbure d'ensemble de 
1 Univers n est pas conditionnée par la matière mondiale 
(pas plus que le rayon de la terre ne dépend des accidents 
du sol). La matière intervient seulement pour produire des 
perturbations locales que nous négligeons ici, n'envisageant 
que la forme d'ensemble. 

La zone du temps stationnaire. — Pour un point fixe 
dans l'espace (par rapport à l'observateur dont la position 
est prise pour origine des coordonnées), on a 

Jy=:0, S^O, J? = 



et 



(15-12) cls=^ cos y cdt ou J/ = 



cos 7 

Près de 1 observateur "/ = et dl^=^ d~ ; t est le temps 

de 1 observateur. Mais loin de lui, l'élément de temps propre 

ds 
est c/t = — alors que 1 élément de temps de I observateur 



c 



est toujours dt. Dans la zone r — ~U( "/ — ~^)^^ temps 



190 APPENDICE 

est stationnaire pour ï observateur car dt est infiniment grand 
par rapport à ds. 

Note 1 6. 
Généralisations de Weyl et dEddington. 

1" THÉORIE DE WEYL. — Dans la théorie d'Einstein, 
1 électricité n'est pas rattachée à une propriété géométrique 
de la structure d'Univers, qui est entièrement représentée 
par les dix potentiels de gravitation g-j.,. 

M. H. Weyl a uni, dans une même géométrie, le champ 
de gravitation et le champ électromagnétique. 

Le développement progressif de la théorie de la relati- 
vité a consisté dans la suppression des axiomes et des res- 
trictions non nécessaires. Or, jusqu à présent, il subsiste 
une hypothèse arbitraire : nous avons admis qu'on peut 
toujours, en des points d'Univers différents, employer la 
même unité de mesure pour la comparaison des intervalles. 
A première vue cela paraît évident : en un point d'Uni- 
vers A, nous définissons une unité de longueur en choisis- 
sant une règle étalon, et cette règle sert aussi pour la me- 
sure optique du temps si nous prenons comme unité 
naturelle la vitesse de la lumière ; il semble donc qu'en 
transportant en un autre point B une copie exacte de l'éta- 
lon choisi en A, on puisse, en B, mesurer les intervalles 
élémentaires et faire la comparaison avec les intervalles 
mesurés en A. Sans doute, nous pouvons opérer de la 
sorte SI deux copies exactes de l'étalon transportées de A 
en B par des chemins différents sont toujours identiques 
en B. Or, rien ne prouve à priori, qu'il en soit ainsi, et si 
la longueur n'est pas intégrable, nous ne pouvons pas obte- 
nir sans cimbiguïté en B une longueur que nous puissions 



RELATIVITE GENERALISEE 191 

considérer, par définition, comme représentant la même 
unité qu'en A. 

L'mtégrabllité de la longueur (généralisée : voir note 1 1 . 
n" 13) est la restriction qui subsiste et qu'il faut sup- 
primer. 

Le champ de gravitation correspond à la non-intégra- 
bilité de la direction. Soit en effet A' un quadrivecteur ; 
faisons -lui décrire un circuit fermé par " déplacement 
parallèle " (note 11, n" 16) c'est-à-dire tel que la dérivée 
covariante A' soit constamment nulle. 

(16-1) ^ + )''^|a^ = 0. 



La variation de ce vecteur est 



frM''- 



Posons JS"^ = — JS'= c/x.Ja't ; c/S est un tenseur 
symétrique gauche qui fait correspondre à l'aire élémentaire 
une direction positive de parcours sur le contour qui la 
limite. L'équation précédente s'écrit 

(16-2) ÎA'=|/"fR;;„A-'JS' 

de même BA, = y / /RLA.JS'' 

La condition nécessaire et suffisante pour que la varia- 
tion soit nulle est que le tenseur de Riemann-Christoffel 
soit nul, c'est-à-dire que l'Univers soit euclidien. La non- 



192 APPENDICE 

intégrabilité de la direction caractérise donc le champ de 
gravitation. 

De même, la non-intégrabilité de la longueur doit carac- 
tériser un champ d'une autre nature. Ne serait-ce pas le 
champ électromiignétique ? 

Puisque nous ne sommes pas certains qu'on puisse défi- 
nir une unité valable en tous les points, nous devons définir 
une unité en chaque pomt-événement de l'Univers ; nous 
appellerons jauge l'unité d'intervalle choisie en chaque 
point. Le système de jauges est arbitraire comme le sys- 
tème de coordonnées : il faut, dans le cas le plus géné- 
ral, diviser l'Univers en cellules par un système quelconque 
de coordonnées et dans chaque cellule infiniment petite 
adopter une jauge. Les jauges sont seulement soumises, à 
la condition d'être infiniment peu aifferentes dans deux 
cellules infiniment voisines, ce qui est possible car 1 ambi- 
guïté disparaît à la limite pour un déplacement infiniment 
petit. Lorsque les jauges étaient supposées les mêmes par- 
tout, dix mesures d intervalles ds autour d un point per- 
mettaient de déterminer les dix g-,., et de décrire le champ 
de gravitation ; maintenant 1 4 mesures vont être nécessaires 
pour déterminer les g •.. et 4 potentiels supplémentaires 
qui paraissent bien correspondre aux composantes du qua- 
drivecteur potentiel électromagnétique. Les 14 potentiels 
g-j.. et 9 ,. définissent la géométrie du système de coordon- 
nées et du système de jauges, et contiennent en eux la 
structure de 1 Univers. 

Faisons décrire à un vecteur A,, par déplacement pa- 
rallèle, un contour fermé infiniment petit, limitant JS'^ ; 
d'après (16-1) sa variation est 

(16-3) clA-,. == -^R;,,Ak/S" = -- R.,„pA^JS". 

2 ' 2 



I 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 193 

t/A;x est orthogonal à A^, parce que, R^v,;. étant symétrique 
gauche en y- et ,-, on a 

( 1 6-4) A:^ JA. = — R..,.,A-'A'cIS"' = 0. 

• 2 

La longueur généralisée du vecteur n'a pas changé, seule 

sa direction a varié. C'est la restriction admise dans la 

théorie d'Einstein. Supprimant cette restriction, nous devons 

remplacer R^ ^s par un tenseur d'un type plus général 

Rii Ts. Or on peut écrire 

1 B xvTs = — (JKj.,to — RovT sym. gauche en X- et ,' , 

(16-5) ' 

' F....,= y CR:.., + *R..:0 sym. en y. et ?. 

(16-6) dA. = y *R. .sA^JS'^ = Y(B,,,s+ F,..dA'dS'\ 

Comme la variation doit être annulée quand on décrit 
le circuit une seconde fois en sens inverse du premier par- 
cours, tous ces tenseurs doivent être symétriques gauches 
en V et ". 

Soit / la longueur généralisée de A^ ; on voit que 

(/ + diy = (A, ^ JA;0 (A^^ -4- JA = r- -f- 2A^^JA,. 

(16-7) 2ldl = ''R, ..A^AdS" = F,..,A'AdS \ 

M. Weyl a adopté une limitation • il a supposé que F ..^. 
est décomposable en g, '...F. -y ; 2" que F<-r est le rotation- 
nel d'un vecteur. D'après la première condition, (16-7) 
devient 

( 1 6-8) 2ldl =-- FXgyA\A)dS'^ = F-J'dS'\ 

13. BECÇUEREL 



194 APPENDICE 

dl est donc proportionnel à / et indépendant de la direction 
du vecteur. 

Les difFérentes surfaces limitées à un même contour 
devant conduire à une même valeur de -Ax, l'intégrale de 
surface doit porter sur un rotationnel, d où la seconde con- 
dition de Weyl. 

Soit maintenant une règle extrêmement courte, de lon- 
gueur généralisée / ^note 11). Déplaçons-la de J.ri, Jx\ 
Jxi, dx.,. F-, étant le rotationnel d'un vecteur, nous pou- 
vons écrire 

( 1 6=9) - = 9 l^Vi + 0,dx, H- Ojxi -H ?; J.t;. 

les f ji étant quatre fonctions de point, qui sont les compo- 
santes d'un quadrivecteur d'Univers. 

Comme les g;x^, les O',. dépendent d une propriété intrin- 
sèque de l'espace-temps et du système employé. De même 
que les o.^, ne peuvent pas prendre des valeurs complète- 
ment indépendantes (loi de la gravitation), de même les 
9;a doivent satisfaire une loi. 

Intégrons (16-9), nous avons 

(16-10) log/4-c'^— \ o,dx^-hr^dxi~\-^^Jx,-i-z.dx, 

la longueur sera indépendante du chemin suivi (inté- 
grable) si le rotationnel des - x est nul (condition d'intégra- 
bilité) 

(16-11) '^-^=0. 

Faisons l'hypothèse que les ^^ représentent le potentiel 
électromagnétique (à un facteur constant près) ; l'annulation 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 195 

du rotationnel exprime, d'après (14-10). que le champ 
électromagnétique est nul. Si cette condition est réalisée, 
les gx. suffisent pour déterminer la structure de 1 Univers. 
Dans le cas contraire la structure est exprimée par 14 po- 
tentiels, les gj., qui décrivent les propriétés gravifiques, les 
^ X qui décrivent les propriétés électromagnétiques. 

La loi des -.. est trouvée : c est la généralisation tenso- 
rielle des équations de Maxwell. L union de cette loi et de 
celle de la gravitation constitue la loi générale de la struc- 
ture d'Univers. 

Changer de système de jauges, c'est ajouter au second 
membre de (16-10) une fonction de point arbitraire, ou 
ajouter au second membre de ( 1 6-9) une différentielle totale. 
Les 9:x ne sont donc déterminés qu'à des fonctions 9 , près, 
pourvu que ces fonctions soient telles que -u/.x'- soit une 
différentielle exacte. Cette indétermination du système de 
jauges ne modifie en rien le rotationnel de sorte que les 
forces électriques et magnétiques sont indépendantes du 
système de jauges. 

Nous avons vu que la quadruple indétermination des 
coordonnées conduit à quatre identités qui ont pour consé- 
quence la conservation de l'impulsion-énergie. De même, 
l'indétermination du système de jauges entraîne une loi 
supplémentaire de conservation : c'est la conser\ation de 
l'électricité (note 1 4, n" 2). 

2" GÉNÉRALISATION DEDDINGTON. — La limita- 
tion de Weyl a pour but de donner un caractère absolu a 
la longueur nulle, de manière que la lumière ait une trajec- 
toire bien définie (intervalle constamment nul). 

Cependant M. Eddington a réussi à supprimer cette 
dernière restriction. Dans la théorie d'Eddington, la varia- 
tion d'un vecteur par déplacement parallèle dépend non 



196 APPENDICE 

seulement du chemin suivi, mais de l'orientation du vecteur 
pendant son déplacement. L'Univers n'est assujetti qu'à 
une condition : celle de posséder une structure géomé- 
trique ; G est le moins qu'on puisse supposer, et l'on ne sau- 
rait s'élever k un plus haut degré de généralisation. 

Théorie géométrique. — Prendre au système de coor- 
données signifie choisir 4 familles d'espaces pour diviser 
l'Univers en cellules; dans chacune de ces familles, chaque 
espace peut être caractérisé par un nombre. Un déplace- 
ment dxj. est donc un vecteur absolu, puisqu'il peut s'ex- 
primer par des nombres purs, indépendants de tout système 
de jauges. 

M. Eddington a montré qu'en supprimant toute restric- 
tion, et conservant seulement la condition (évidemment 
nécessaire) que l'Univers ait une structure géométrique, et 
possède en chaque point un Univers euclidien tangent, la 
formule (16-2) est remplacée par 

(16-12) ^A' = ^ j I *R;^.,A'JS'^ 

où R'i,^, tenseur de Riemann-Christofîel généralisé, est 
absolu, c'est-à-dire indépendant de tout système de jauges. 
Dans ce tenseur, les symboles de Chrjstoffel du tenseur 
ordinaire sont remplacés par des symboles généralisés, qui 
sont absolus, parce qu ils s'introduisent sans que le système 
de jauges intervienne. On a 

(16-13) *j:';'j = 5:^;| + S;,, 

Svx étant un tenseur symétrique en [J- et v (non absolu). 
Contractant Ri",,, on obtient la généralisation de Rj.,« 
Les Jeux tenseurs absolus R:!,^ et R,, traduisent les 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 197 

pi'npriétcs intrinsèques du conlinuum. On n'en voit pas 
d autres jouissant des mêmes propriétés. 

Pour introduire les ;^,, ,, il faut adopter un système de 
jauges. Nous définissons la longueur / d'un déplace- 
ment A"^ par 

(16-14) l' = g;,A-'A\ 

l' est un invariant à l'égard du système de coordonnées ; 
gy , est un tenseur symétrique. Un système de coordonnées 
étant adopté, les A' sont des nombres purs ; mais /"dépend, 
par les g,.,, du système de jauges ; la longueur n'est pas 
un invariant absolu, c'est une convention purement géomé- 
trique. 
Posons 

(16-15) 2r, = s; 

et soit fiv la dérivée covariante du quadrivecteur 7;,.. 
On peut écrire 

(16-16) B.,= ^--^ ^ % F.. = -*^^^^ ^^ 

2 2 

(16-17) *R,.,=:B,. + F.,. 

B;,v est symétrique et Fa- symétrique gauche. On dé- 
montre que 

(16-18) F...^9:."—rr.=^ — ~ (rot.de rO- 

Les tenseurs B;. et F-, sont des tenseurs absolus. 
Le tenseur R/v^. se divise de même en deux ten- 
seurs 

(16-19) '=R;,-.,= B,.„-hF,-.j. 

le premier symétrique gauche en ÎJ- et p, le second symé- 



198 APPENDICE 

trique en [J- et :, symétriques gauches tous deux en ' et ". 
Mais aucun de ces tenseurs n'est absolu, car les g,,.-^ inter- 
viennent pour abaisser l'indice p. 

La variation d'un vecteur est ainsi mise sous la forme 
(16-6) et l'on a la formule (16-7), sans aucune restriction. 

Invariants absolus. — Il n'existe pas de fonction inva- 
riante absolue des potentiels, mais on peut trouver des den- 
sités invariantes absolues. 



F,..F'A ~ g, g'-(*RX.\ - g. 

^R étant le scalaire ^'^'^Rix.. Il existe peut-être encore une 
densité invariante absolue dérivée de "YKx.torj,^. 

Le nombre des caractères d'Univers distincts dont les 
combinaisons peuvent s'exprimer par des nombres purs, 
indépendants de tout système de coordonnées et de jauges ne 
dépasse probablement pas 6. 

Weyl a fait remarquer que c'est seulement dans un Uni- 
vers à nombre pair de dimensions que les tenseurs fonda- 
mentaux donnent naissance à des densités invariantes abso- 
lues. On ne saurait imaginer un univers à nombre 
impair de dimensions, car il n'aurait aucun caractère absolu. 

En plus de ces densités absolues, qui sont des caracté- 
ristiques absolues de l'Univers en chaque point, il y a un 
invariant absolu simple lié à un déplacement A'^ : c'est 

*R,vA:^A' ; 

d'autres combinaisons plus compliquées pourraient être 
imaginées. 

IDENTIFICATIONS PHYSIQUES. - Le système de 
jauges naturel. — Si nous voulons que la longueur 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 199 

(form. 16-14) cesse d'être une convention géométrique 
pour devenir une entité physique, il faut que /' soit un 
invariant absolu. Or il n existe qu'un invariant absolu lié 
à un déplacement A' et qui soit une forme quadratique : 
c'est Ra.A'A'. Nous sommes donc conduits à considérer 
cet invariant comme donnant une mesure naturelle de la 
longueur et nous devons poser 

( 1 6-20) l' = ^. A^^ A' = ' ""R . , A ' A' = ~ B. A ' A'. 

/. /. 

D'oii 

(16-21) B;.,=^Ag,., 

/■ étant une constante universelle, qui nous laisse d'ailleurs 
libres d'adopter telle unité de longueur que nous voulons 
en un point d'Univers déterminé. Le choix étant fait en 
un point, les jauges en tous les points sont fixées par 

(16-21). 

La différence qui sépare B.. du tenseur R^, de la théorie 
d'Einstein provient des termes issus de S]... Nous allons voir 
que ce tenseur S;, détermine les phénomènes électroma- 
gnétiques ; plus le champ électromagnétique est faible, c'est- 
à-dire plus l'espace est vide, plus B., est voisin de K, . Dans 
le vide, l'équation fixant le système de jauges est 

(16-22) R, -Ag..=:0. 

C est précisément la loi de la gravitation d Einstein, qui 
est obtenue ainsi par des considérations aussi générales que 
possible, absolument indépendantes de celles qui ont été 
exposées précédemment. Ce résultat nous montre que, dans 
le vide, 1 Univers est effectivement jaugé conformément au 
système de jauges naturel, ou encore qu'en transportant les 



200 APPENDICE 

étalons d'un pomt à un autre pour la comparaison des 
intervalles on emploie, dans le vide, le système naturel. 

Propagation de la lumière. — Une perturbation lumi- 
neuse issue d'un point occupe dans l'univers un cône qui 
doit satisfaire une équation de la forme 

(16-23) a,,dxJx,^0. 

Comme ce cône est bien déterminé et n'a aucun rap- 
port avec un système quelconque de coordonnées ou de 
jauges, il est nécessaire que a j, soit un tenseur absolu : ce 
ne peut être que R;v . On a donc 

( 1 6-24) ""R.Jx-Jx. = B,dx,clx. = 0. 

Nous voyons que, dans la théorie d'Einstein, où la pro- 
pagation de la lumière s'exprime par 

ds =^ g,,dx^dx, ^= 0, 

rUmvers est jaugé conformément à l'équation ( 16-21), par- 
tout où la lumière se propage, c'est-à-dire en tout point 
(sauf à l'intérieur de l'électron). /« pourrait être une fonc- 
tion de point, mais la loi de la gravitation dans le vide 
nous montre que c'est une constante. 

Le fait que, dans nos observations, la lumière a une 
propagation parfaitement définie prouve que nous effectuons 
nos mesures avec le système de jauges naturel. Il est vrai 
que dans un champ électromagnétique il existe une ambi- 
guïté concernant la longueur, mais cette ambiguïté dispa- 
raît pour un déplacement infiniment petit, et si nous trans- 
portons nos étalons d'un point à un autre dans un domaine 
très petit pour comparer des intervalles, nous employons 
le système naturel à une quantité du second ordre près. 

Eddington a donc réussi à supprimer la difficulté qui 
avait conduit Weyl à poser F;-.-»? = ^i^F-T. La longueur 



RELATr\'ITÉ GÉNÉRALISÉE 201 

nulle peut ne pas rester nulle par déplacement parallèle ; 
peu importe, puisque le cône lumineux est défini par la 
seule équation invariante absolue qu'on puisse former, 

La courbure constante. — Prenant les scalaires des deux 
membres de (16-21), on a, en tout point 

B ^ *R = 4\ 

qui, dans le vide, devient 

R --= 4/ . 

11 est évident que a n'est pas nul, car il n'y aurait plus 
de système de jauges naturel. Nous sommes donc directe- 
ment conduits à la conception de la courbure constante et 
de l'espace fermé. La constance de la courbure est impo- 
sée par la condition qui détermine le système de jauges : 
cela revient à dire que le système naturel consiste à prendre 
pour jauge en chaque point le rayon de courbure d Univers; 
ou encore que tout objet est une portion déterminée et 
constante de l'Univers; que tout électron doit avoir pour 
rayon une fraction constante du rayon de courbure d'Uni- 
vers au point où il se trouve. Si le rayon d'Univers chan- 
geait d'un point à l'autre — par rapport à un sur-étalon que 
nous ne saurions d ailleurs imaginer — l'électron, nos instru- 
ments, nous-mêmes, tout changerait dans le même rapport ; 
par conséquent le rayon de courbure doit nous apparaître 
comme constant. 

R a la même valeur partout. Si Ton conserve le point 
de vue de la théorie d'Einstein, en séparant le champ de 
gravitation et le champ électromagnétique, et si l'on appelle 
courbure le scalaire R qui ne fait pas intervenir les S,,, on 
doit considérer les électrons comme des déformations locales. 
L électron devient une région de forte courbure, bien que. 



202 APPENDICE 

avec le système naturel, R ait la même valeur que dans 
le vide. Cela signifie que les S^., qui font différer B,;.,(^^ ''•^/O 
de R;.. doivent être considérables dans l'électron; autrement 
dit, le champ électrique doit y être colossal. 

Matière et électricité. — Pour identifier la substance 
contenue dans l'espace, nous devons chercher les tenseurs 
géométriques qui correspondent aux tenseurs physiques. 
Ces tenseurs n'ont d ailleurs pas besoin d'être absolus car 
nous utilisons le système de jauges naturel (aux faibles 
erreurs près dues à l'ambiguïté résultant de la non-intégra- 
bilité des longueurs) et nous n'avons aucune raison de pen- 
ser que les lois de notre science se conserveraient toutes 
dans un système de jauges arbitraire. 

Tout d'abord, rien n'est changé à la loi de la gravitation 
dans la matière, car la généralisation de Weyl-Eddington 
n introduit pas de nouveau tenseur à divergence nulle 
auquel on puisse identifier T ,. 

Le tenseur F., des forces électrique et magnétique doit 
satisfaire le premier groupe des équations de Maxwell généra- 
lisées, et ces équations deviennent des identités (14-6) si 
F ,., est le rotationnel d'un vecteur. Nous voyons qu il n y 
a qu'un seul tenseur géométrique que nous puissions iden- 
tifier avec le tenseur des forces électrique et magnétique, 
c'est celui que nous avons précisément désigné par F;^. 
(16-17). Le vecteur f;. dont Fx. est le rotationnel, est le 
potentiel. 

Le vecteur courant-densité de charge doit satisfaire à la 
loi expérimentale de conservation de l'électricité. Il faut 
donc que J'^=^0; cette équation devient une identité si 
J' est la divergence d'un tenseur symétrique gauche con- 
trevariant ; nous devons donc identifier J ' avec la divergence 



RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE 203 

de F ' ; nous obtenons ainsi le second groupe de Maxwell. 
L'électron. — Nous avons vu (note 14, n* 3) qu'il 
est impossible de construire un électron et par conséquent 
de la matière à partir du champ électromagnétique seul ; on 
sait d'ailleurs que l'électron ne peut exister qu'en admettant 
des forces de cohésion non-maxwelliennes (pressions de 
Pomcaré). Si l'on admet la continuité dans la structure 
géométrique de l'Univers, il est possible de calculer en 
chaque point le scalaire T du tenseur total d énergie 
c'est-k-dire la densité de substance ", L expression est 
d'ailleurs assez compliquée. Le résultat intéressant est le 
suivant : il est permis de penser que les forces de cohésion, 
jusqu'alors mystérieuses, qui permettent l'existence de 
l'électron sont les S', qui ajoutées aux composantes 

'. ' [du champ de gravitation constituent les forces absolues 

' > (éq. 16-13). L'union du tenseur de gravitation g,, 

et du tenseur d'électricité S, (ou plutôt d'un tenseur 9,7 
à partir duquel sont formés les S., , ) ou plus simplement, 
SI l'on admet la restriction de Weyl, l'union de g,, et de 
9 y suffit pour rendre compte de l'existence des électrons et 
de la matière, alors que le champ de gravitation et les forces 
maxwelliennes F ,, ne suffisaient pas. 

Le potentiel électromagnétique a en lui quelque chose 
de fondamental qui disparaît quand on en prend le rotation- 
nel pour obtenir la force électromagnétique observable 
(Eddington). 

Toutefois dans le problème de la matière, il ne parait 
pas exact de supposer une structure d'Univers continue, car 
l'expérience nous a révélé l'étrange loi des quanta. Les 



204 APPENDICE 

lois du continu ne sont probablement pas applicables a. 
1 électron, mais on ne voit pas où intervient une disconti- 
nuité dans la constitution de 1 électron. 

Les généralisations de Weyl et d'Eddmgton complè- 
tent la théorie d'Einstein sans l'altérer. On peut, dans la 
description géométrique de l'Univers, considérer séparé- 
ment le tenseur B.v (ou g ,.>) qui décrit le champ de gra- 
vitation et le tenseur F , , qui décrit le champ électromagné- 
tique : c est ce qu'avait fait Einstein ; T intervalle 
d Einstein est absolu, puisque c'est l'invariant absolu 
B, , (JX'idx,. L'œuvre d'Emstein reste donc intacte ; elle 
n est atteinte en rien par l'ambiguïté que l'existence du 
champ électromagnétique apporte dans la comparaison des 
longueurs. 



BIBIJOGRAPHIE 



LoRENTZ — Einstein — MInkowski. — Das Relaticitalsprinzip ; 
nouvelle édition (Teubner). 

Ce livre contient les plus importants mémoires originaux. 
A. Einstein. — La théorie de la relativité restreinte et généralisée, 
mise a la portée de tout le monde. Traduit par M""^ J. Rouvière. 
L'éther de la relativité, traduit par M. Solovine. 
P. Lancevin. — L'évolution de l'espace et du temps {Scientia, 

1911). 

Le temps, l'espace et la causalité dans la physique moderne. Bul- 
letin de la société de philosophie (19 oct. 1911). 

L'inertie de l'énergie. Conférence à la société de physique (17 mars 
1913) publiée dans le Journal de physique. 

Le principe de relativité. Bulletin de la société des électriciens, 
déc. 1919. 

H. Weyl. — Raum, Zeit, Maierie, édition 1921 (Springer, éd.). 

Max von Laue. ~ Die Relativit'atstheorie, t. I 0919) et t. II (1922) 
(Vieweg 6c Sohn, éd.). 

A.-S. Eddincton. — Report on the relativity iheory of gravitation 
(1920) (publié par la Société de physique de Londres). 

Espace, temps et gravitation 0921) traduit par M. Jacques Ros- 
signol. 

De Sitter. - " On Einstein theory of Gravitation, and its astronomi- 
cal conséquences. Monthly notices, oct. 1916, déc. 1916, nov. 1917. 

Jean Becquerel. — Le principe de relativité et la théorie de la gra- 
vitation (1922) (Gauthier Villars, éd.j. 



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de la science, comme de la philosophie elle-même. Mais il y a antino- 
mie entre l'instrument de noire connaissance, la raison, qui ne peut 
procéder que par le moyen de l'identité, et Ja réalité du monde, qui 
échappe perpétuellement à l'idenlification et dont l'essence est d'être 
irrationnelle. La réalité nous est-elle donc insaisissable ? Tel est le 
problème capital que pose et qu'élucide avec profondeur M. Emile 
Mfyf.rson dans son livre De V Explication dans les Sciences qui 
devra désormais servir, pour employer une expression de l'auteur dans 
sa préface, de " prolégomènes à toute métaphysique ». 

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LA « COLLECTION PAYOT » S'EST ASSURÉE DE 
LA COLLABORATION DE MM. 

HENRI ANDOYRR. Membre de l'Institut. Professeur à la Sorbonne. 

PAUL APPELL, Membre de l'Institut, Recteur de l'Université de Paris. 

L*-0 E ARIÈS, Gsrrespondant de l'Institut. 

AUGLÎSTE AUDOLLENT, Doyen de la Faculté des Lettres de Clermont. 

ERNEST BABELON, Membre de l'Institut, Professeur au Collège de France. 

JEAN BABELON. Attaché au Cabinet des Médailles. 

E. BAILLAUD, Membre de l'Institut, Directeur de l'Observatoire de Paris. 
LOUIS BARTHOU, de l'Académie Française, ancien Président du Conseil, Ministre 

de la Guerre. 
JEAN BECQUEREL, Professeur au Muséum National d'Hisioire Naturelle. 
PAUL BECQUEREL, Docteur es Sciences chargé d'Enseignement pratique à la 

Sorbonne. 
HENRY BÉRENGER, Sénateur. 

A. BERTHOUD, Processeur à l'Université de Neuch-tel. 
GABRIEL BERTRAND, Professeur à la Sorbonne et à l'Institut Pasteur. 
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F. BOQUET, Astronome de l'Observatoire de Paris. 
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EDMOND BOUTY, Membre de l'Institut, Professeur à la Sorbonne. 

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Louis- le-Grand. 
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France, Professeur à l'Ecole d'Anthropologie. 
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Sciences de Strasbourg. 
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MAURICE CROISET, Membre de l'Institut, Professeur au Collège de France. 
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à l'Université de Gand. 



COLLABORATEURS DE LA « COLLECTION PAYOT » 

M. DELAFOSSE. ancien Gouverneur des Colonies, Professeur à l'Ecole coloniale. 
Comte DELAMARRE DE MONCHAUX. Président de la Section -d'Aviculture 

de la Société des Agriculteurs de France. 
CH. DEPERET, Membre de l'Institut, Doyen de la Faculté des Sciences de Lyon. 
G. DESDEVISES DU DÉZERT. Professeur à l'Univ. de Clermont-Ferrand. 
CH. DIEHL, Membre de l'Institut, Professeur à la Sorbonne. 
G. DOTl IN, Correspondant de l'Institut, Doyen de la Faculté des Lettres de Rennes. 
ALBERT DUFOURCQ, Professeur à l'Université de Bordeaux. 
CH. DUGAS, Professeur à l'Université de Montpellier. 

JEIAN DUHAMEL, Secrétaire du Comité Central des Houillères de France. 
Comte P. DURRIEU, Membre de l'Institut, Conservateur honoraire au Louvre* 
RENÉ DUSSAUD, Conservateur au Louvre, Professeur à l'École du Louvre. 
JEAN DYBOV^SKl, Membre de l'Académie d'Agriculture. 
CAMILLE ENLART, Directeur du Musée de Sculpture Comparée. 
O EMILE ESPÉRANDIEU, Membre de l'Institut. 

P. FABIA, Correspondant de l'Institut, Professeur à l'Université de Lyon. 
HENRI FOCILLON, Professeur à la Faculté des Lettres de l'Université de Lyon- 
G . FOUGERES, ancien Directeur de l'Ecole d'Athènes, Professeur à la Sorbonne. 
A. GASTOUÉ, Professeur à la Schola-Cantorum. 
E.-F. GAUTIER, Professeur à la Faculté des Lettres d'Alger. 
PROSPER GERVAIS. Président de l'Académie d'Agriculture. 
ETIENNE GU-SON, Professeur à l'Université de Strasbourg. 
CHARLES GIRARD, Membre de l'Académie d'Agriculture. 
PAUL GIRARD, Membre de l'Institut. Professeur à la Sorbonne 
GUSTAVE GLOTZ, Membre de l'Institut, Professeur à la Sorbonne 
PAUL GOUY, Directeur de • La Viticulture exportatrice ". 
A. GRENIER . Professeur à l'Université de Strasbourg. 
PIERRE GRILLET. Agrégé de l'Université. 
GEORGES GROMAIRE, Professeur au Lycée Bufïon. 
A. GUILLAND, Professeur à l'École Polytechnique de Zurich. 
J HATZFELD, Professeur k l'Université de Bordeaux, 
L HAUTECŒUR. Professeur à l'Université de Caen. 
HENRI HAU*/ETTE, Professeur à la Sorbonne. 

FÏLIX HENN'EGUY, Membre de l'insitut, Membre de l'Académie de Médecine. 
HENRI HlTlER, Membre de l'Académie d'Agriculture. 
JOSEPH HITIER, Professeur à la Faculté de Droit de Paris et à l'Institut national 

agronomique. 
PIERRE JOUGUET, Correspondant de l'Institut, Professeur à la Sorbonne. 
KAYSER, D' des Laboratoires de Fermentation à l'Institut national agronomique. 
G. LACOUR-GAYET. Membre de l'Institut, Professeur à l'École Polytechnique. 
A. LACROIX, Secrétaire Perpétuel de l'Académie des Sciences. 
HENRY LAFOSSE, Membre de l'Académie d'Agriculture. 
L. DE LAUNAY. Membre de l'Institut, Processeur à l'École des Mines. 
G. LE CARDONNEL. 

HENRI LECHAT, Correspondant de l'Institut, Professeur à l'Université de Lyon. 
E. LECLAINCHE, Membre de l'Institut, Inspecteur général au Ministère de 

l'Agriculture. 
G. LE GENTIL, Professeur k la Sorbonne, 



COLLABORATEURS DE LA « COLLECTION PAYOT 



LOUIS LEGER, Membre de l'Institut. Professeur au GiUège de France. 

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Becqueral, Jean 

Expose élémentaire de la théorie 
d'Einstein et de sa généralisation 



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